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limitazioni sulla base  a

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• Abbiamo visto che quando  a=1  la funzione esponenziale in base  a  diventa una funzione costante, che ha per grafico una retta orizzontale. Una funzione costante associa sempre lo stesso valore  a tutti gli x cui si applica . Ciò non contrasta la definizione di funzione, che richiede invece la cosiddetta univocità, ossia che dato un certo  x  la funzione gli associ un unico valore. Se una relazione  f  associasse allo stesso  x  più valori, sarebbe inutilizzabile proprio la notazione "f(x)" per indicare il valore assunto da f in corrispondenza a x, proprio per il fatto che di valori non ce n'è uno solo. In altri termini, la notazione "f(x)" diventa ambigua e quindi contraddittoria. Diversa invece la condizione di una funzione costante  f, in quanto  f(x)  è unico, seppur condiviso con tutti gli altri x':  f(x)=f(x').
   

• Quindi la relazione inversa di una funzione costante non è univoca, anzi associa ad un solo valore (quello della costante) tutti gli x  che fanno parte del domino della funzione costante. Ecco perché, quando  a=1, la funzione logaritmica scompare. Possiamo constatare con l'aiuto della figura che facendo avvicinare  a  al valore  1  (senza però assumerlo; nota che qui  a  va spostato in verticale, in quanto è visto come  exp_a(1) ), le funzioni logaritmiche che di volta in volta si ottengono sono sempre più ripide; inoltre si passa da un andamento crescente, assunto per a>1, ad uno decrescente, assunto per a<1. Esattamente la stessa cosa accade per le corrispondenti funzioni esponenziali. La caratteristica di essere crescente o decrescente è condivisa, in questi due casi, da exp_a e log_a; ciò che invece è opposto nelle due funzioni è la rapidità di crescita o di decrescita. Infatti, quanto più tende a essere orizzontale l'esponenziale, tanto più tende a essere verticale la logaritmica. Il passaggio da crescita a decrescita nelle funzioni esponenziali avviene passando per la retta orizzontale di equazione y=1, che è exp₁, mentre lo stesso passaggio per le funzioni logaritmiche ha come spartiacque la retta verticale di equazione x=1, che non è grafico di una funzione.
   

• Abbiamo visto durante lo studio delle funzioni esponenziali che il simbolo  exp, senza l'indicazione della base, sta ad indicare quella particolare funzione esponenziale che nel punto (0,1) ha una  retta tangente  di  pendenza 1 (e che quindi forma un angolo di 45 gradi con l'asse delle ascisse). Tale esponenziale corrisponde ad una base particolare, che è  un numero irrazionale, poco più grande di 2.71, il numero di Nepero (o di Eulero), indicato con  e   (proprio in omaggio ad  Eulero ). Ebbene, così come  exp=exp_e, si pone anche  log=log_e, pur se nel contesto della matematica applicata spesso si usa la definizione  log=log₁₀;  per la qual cosa si è introdotto anche il simbolo  ln=log_e, in quanto il logaritmo in base  e  è detto anche logaritmo naturale  o  neperiano  (da Nepero). Data la simmetria già studiata fra curve esponenziale e logaritmica (avente le stesse basi), possiamo concludere che il grafico del logaritmo naturale ha, nel punto (1,0), ha una retta tangente di pendenza 1.
   

• Alle limitazioni sul parametro  a  aggiungiamo quella già vista della positività, senza la quale l'esponenziale non esiste (nel campo dei numeri reali).