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l'equazione    a ^x = b

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• Nella figura interattiva vedi rappresentata in blu la funzione esponenziale in base  a. Puoi cambiare  a  spostandolo col mouse in verticale lungo l'asse delle ordinate (non ha effetto il cambiamento della sua ascissa). Puoi inoltre muovere l'ascissa c in verticale (non ha effetto il cambiamento della ordinata di c); l'ascissa di c non è altro che la variabile x sull'asse delle ascisse. Verifica ad esempio che quando x=1 la funzione esponenziale vale  a^x=a¹=a. E' possibile ingrandire, rimpicciolire, traslare la figura ed effettuare altre operazioni (usa il pulsante "come agire sulla figura" per aprire, ogni volta che ti serve, una finestra di riferimento, che potrai ridimensionare e disporre dove vuoi; se non la chiudi, essa si riduce ad icona ma si riattiva con il suddetto pulsante).
   

• Tramite l'aiuto della figura possiamo riesaminare delle caratteristiche importanti delle funzioni esponenziali:
  

  la base  a  deve essere positiva; per ogni  a>0  la funzione esponenziale  exp_a  è definita su tutti i numeri reali

  se  a>1  la funzione  exp_a  è crescente (quindi a valori distinti associa valori distinti) e  assume come valori tutti i possibili numeri reali positivi, ossia: al variare di x in R i valori  a^x  costituiscono tutto l'insieme dei numeri reali positivi

  se  a=1  la funzione  exp_a=exp₁  è costante e assume sempre il valore 1

  se  0<a<1 la funzione esponenziale  exp_a  è decrescente (quindi a valori distinti associa valori distinti) e assume come valori tutti i possibili numeri reali positivi.

  
  

• Nella figura è presente anche la retta orizzontale di ordinata b (ossia quella di equazione y=b); puoi muovere b con le stesse modalità seguite per muovere a. Il fatto che tale retta incontra l'esponenziale in un punto m=(k,a^k) significa che a^k=b, cioè che l'equazione  a^x=b  è soddisfatta per x=k. Quindi:
  

  se  a>1  l'equazione  a^x=b  ha una e una sola soluzione  (l'unicità segue dal fatto che exp_a è crescente)

  se  a=1  l'equazione  a^x=b   (che diventa 1^x=b)

  • non ha soluzioni  (è impossibile)  se  b  è diverso da  1

  • ammette ogni possibile soluzione reale  (è indeterminata)  se  b=1   (quindi l'equazione è: 1^x=1)

  se  0<a<1  l'equazione  a^x=b  ha una e una sola soluzione (l'unicità segue dal fatto che exp_a è decrescente)




• Quando esiste, quel  numero   k   tale che   a^k=b   è detto  logaritmo   di  b  in base   a. Ad esempio: 10⁶=1000000 e quindi  6  è il logaritmo di 1000000 in base 10. Come si vede il 6 è l'ordine di grandezza del milione e dà da solo l'idea della proporzione (nel senso di dimensione) del numero 1000000; quindi, in un certo senso, il suo "logo". Possiamo interpretare il logaritmo come il "numero che esprime il logo di un numero".