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il dominio di una funzione logaritmica

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• Abbiamo visto che esistono funzioni logaritmiche solo in basi positive e diverse da 1. Adesso ci poniamo l'obiettivo di esaminare qual è il dominio di una funzione logaritmica, ossia per quali valori di  x  è  definita l'espressione  log_a(x), espressione che spesso, in assenza di ambiguità, è scritta più semplicemente senza parentesi:  log_ax.
   

• Fissata nella figura la base  a  (questa volta  a  è riportato sull'asse delle ascisse, con riferimento al fatto che  log_aa=1), sempre con la limitazione  a>0  e  a≠1, puoi muovere il punto c, che rappresenta l'ascissa variabile, e al variare di  x=c il punto  h=(x,y)=(x,log_ax) varia sul grafico del logaritmo in base a, mentre il punto  k=(log_ax,x)=(y,exp_ay)  varia sul grafico dell'esponenziale in base a. Constatiamo che la  x  dev'essere necessariamente positiva, in quanto ordinata di un punto che sta su una funzione esponenziale.
   

• In altre parole, siccome scrivere  y=log_ax   equivale a scrivere  a^y=x, e siccome una potenza di base  a>0   è sempre positiva, segue  x>0. Pertanto, per qualunque valore di  a  tale che  a>0 e a≠1, la funzione  log_a  ha per dominio l'insieme  R⁺  dei numeri reali positivi.