TRASMISSIONE DI TENSIONE SU UNA CINGHIA TRAMITE PULEGGIA NON DENTATA

Tensione iniziale = t

f = coefficiente di attrito

T = t + t f α = t ( 1+ f α) = tensione finale “fittizia” che ci sarebbe al termine dell'arco α se l'incremento di tensione fosse dato tutto alla fine di α .

Ovviamente ciò non rispecchia la realtà, in quanto la tensione aumenta di continuo su tutto l'arco α e non in una unica soluzione alla fine di tutto l'arco α stesso.

Dividendo in n parti (per comodità di calcolo prese uguali) l'arco α, si ha che al termine di tutto α la tensione accumulata sarà:

T = t ( 1+ f α/n )ⁿ

( infatti la progressione che fa passare da ogni tensione all'inizio di un archetto alla tensione alla fine dell'archetto stesso è una progressione geometrica avente termine iniziale t e di ragione:

q = 1+ f α/n

e l'n-simo termine di tale progressione è t qⁿ ).

Siccome il numero n in cui si suddivide l'arco α deve essere quanto più grande possibile, matematicamente si scrive:

T = lim _n→∞ t ( 1+ f α/n )ⁿ

Siccome la funzione x → lim _n→∞ ( 1 + x/n )ⁿ si indica con exp(x) , avremo:

T = t exp( fα )

La funzione exp è detta “esponenziale naturale” o “esponenziale nepariana” in quanto si esprime come esponenziale nella forma:

exp(x) = [ exp(1) ] ^x = e ^x ( ponendo e = exp(1) )

e il numero e = exp(1) = lim _n→∞ ( 1+ 1/n )ⁿ viene chiamato “numero di Nepero”.

Il modello matematico della trasmissione di tensione su una cinghia tramite una puleggia non dentata è lo stesso modello che esprime in matematica finanziaria la relazione tra un capitale iniziale c (corrispondente alla tensione iniziale t del modello meccanico) e il capitale finale C (corrispondente alla tensione finale T del modello meccanico) ottenuto tramite capitalizzazione, con continua ricapitalizzazione istante per istante, a un tasso d'interesse I (corrispondente al coefficiente d'attrito f del modello meccanico) per un tempo τ (corrispondente all'arco di contatto α del modello meccanico), relazione che è espressa dalla formula:

C = c exp( I τ ) = e ^{I τ}

Un'unica ricapitalizzazione a fine anno ( τ = 1 ) dà C = c ( 1 + I ), mentre ricapitalizzando alla fine di ogni giorno si avrebbe C = c ( 1 + I / 365 )³⁶⁵ e con ricapitalizzazione continua istante per istante si avrebbe C = c exp(I) = e ^I .