l'asse R dei numeri reali (asse reale)
- numeri positivi e numeri negativi: abbiamo visto, all'inizio, che fra gli enti primitivi della teoria di C c'è l'insieme R+ dei numeri reali positivi. A partire da questo possiamo definire l'insieme R- dei numeri negativi, che sono gli opposti dei numeri positivi. L'insieme R dei numeri reali è definito come l'unione R+ U {0} U R- (numeri positivi, numeri negativi e 0
- da R+ all'ordinamento in R (relazioni < e > ): a partire da R+ possiamo anche definire gli ordinamenti in R: diremo che x è minore di y (x e y numeri reali), scrivendo, come è noto, x<y, quando y-x è in R+. In tal caso scriviamo anche; y>x (y maggiore di x).
Inoltre, si introducono le notazioni per le
relazioni "minore o uguale" (x≤y significa che x<y oppure x=y) e "maggiore o uguale" (x≥y significa che x>y oppure x=y)
- gli insiemi R+, R e l'ordinamento in R godono delle seguenti proprietà (i quattro assiomi sui numeri reali; questi costituiscono il secondo gruppo di assiomi della nostra teoria):
- assioma dello zero e dell'uno: 0 non è in R+, mentre 1 è in R+
- chiusura additiva di R e di R+: se x e y sono in R, la somma x+y è anche in R; se x e y sono in R+, la somma x+y è anche in R+
- densità di R: se x e y sono numeri reali tali che x<y, allora esiste almeno un numero reale r tale che x<r e r<y (brevemente si scrive x<r<y e si dice che r è strettamente compreso fra x e y)
- completezza di R: se A e B sono sottoinsiemi non vuoti di R tali che ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B (brevemente si dice che A precede B) allora esiste almeno un elemento r maggiore o uguale di ogni elemento di A e minore o uguale di ogni elemento di B (brevemente di dice che r è compreso tra A e B)
- divisibilità in parti uguali di un numero reale (teorema di esistenza e unicità del sottomultiplo): dalle proprietà precedenti si possono dedurre
vari teoremi, fra cui quello che asserisce la divisibilità di un numero reale x in n parti uguali (dove n è un numero naturale non nullo), ottenendo un unico numero x',
indicato con x/n, tale che n•x'=x.
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