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le rotazioni intorno all'origine

  • La roto-omotetia Rw porta 1 in w. Nel caso accada che tale roto-omotetia porti w in 1, diciamo che Rw è una rotazione (più correttamente: una rotazione intorno a 0) e che w è un numero complesso unitario
     
  • l'insieme dei numeri complessi unitari si chiama circonferenza unitaria (notazione: U): Sono elementi di U, ad esempio, 1, -1 , i, -i.
     
  • ogni numero complesso z si può esprimere in modo univoco come prodotto z=r•u con r≥0 e con u unitario: r è detto modulo di z (notazione: |z|) e u è detto versore di z (notazione: vers(z))
     
  • la versione geometrica di quanto appena detto consiste nel fatto che ogni roto-omotetia è esprimibile come trasformazione composta di rotazione e omotetia:

          Rw = R|w|Rvers(w) = H|w|Rvers(w) = Rvers(w)H|w|
     
  • proprietà:
  • numeri unitari: se w=a+b•i (con a e b reali), la condizione Rw(w) = 1 equivale alla condizione algebrica:             w•w = a2 + b2 = 1
  • modulo: se z=x+y•i (con x e y reali), si ha:   |z|2 = x2 + y2
  • versore: se z è un numero complesso non nullo, è |z|>0, e da z=|z|•vers(z) si ricava: vers(z)=(1/|z|)•z
  • chiusura moltiplicativa della circonferenza unitaria: se u e u' appartengono a U, allora u•u' è in U
  • scomposizione del prodotto: z•w = ( |z|•|w| ) • ( vers(z)•vers(w) )
  • numeri unitari e coniugazione: per un numero unitario u, la condizione u•u =1 significa che u = 1/u
  • inversione e coniugazione: se z è non nullo, l'inverso di vers(z) è vers(z) e l'inverso di z=|z|•vers(z) è:             1/z = (1/|z|) • vers(z)
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