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il piano complesso C
ovvero il piano dei numeri complessi

  • Come ogni struttura matematica, il piano C è costituito da elementi primitivi che vengono implicitamente definiti da proprietà che essi verificano (detti assiomi o postulati).
     
  • Allo stesso modo che in tutte le altre teorie matematiche, bisogna ben distinguere l'aspetto sintattico, per il quale gli elementi della teoria sono puri simboli e gli assiomi sono formule che li contengono, e quello semantico, che fornisce di tali simboli una interpretazione concreta, mediante oggetti di un modello, grafico nel caso di C, per i quali sussistono le proprietà espresse dagli assiomi.

     
  • Gli elementi primitivi del piano complesso sono:
  • un insieme, indicato con C, i cui elementi sono detti numeri complessi, rappresentati dai punti di un piano;
  • un punto, 0  (detto zero o origine);
  • un operatore, -  (detto meno  o  opposizione); tale operatore va da C a C: ad esempio ad un elemento  u  associa  - u (detto opposto di u); vedremo in seguito come si realizza graficamente tale operatore;
  • un'operazione (operatore a due argomenti, ossia a due input), +  (detta  addizione): entrambi gli argomenti di tale operazione sono numeri complessi: ad esempio a  z  e  w corrisponde il valore indicato come  z+w, detto somma di z e w  oppure  x più v; vedremo in seguito come si realizza graficamente tale operazione;
  • un sottoinsieme di C (in verde nella figura), indicato con R+, i cui elementi sono detti  numeri reali positivi o semplicemente  numeri positivi; se  x  è positivo, allora   - x  (opposto di x) è detto negativo; la rappresentazione grafica di tale insieme è data da una semiretta che parte da 0, privata dello stesso 0;
  • un secondo punto, 1 (detto uno o unità reale), che appartiene a  R+ (ossia è un numero reale positivo);
  • una seconda operazione, •  (detta  moltiplicazione): il primo argomento deve essere un numero reale (ossia o un numero positivo, o lo zero, o un numero negativo), mentre il secondo argomento è un numero complesso; spesso fra i due argomenti il  •  si omette: ad esempio ad  x  e  v  associa  x v, detto prodotto di  x  e  v  oppure  x per v; vedremo in seguito come si realizza graficamente tale operazione;
  • un terzo punto  i  (detto unità immaginaria); a volte al posto di tale simbolo  si usa il simbolo  j (i lunga); vedremo successivamente come tale punto è collocato nel modello grafico rispetto agli altri due (0 e 1) e che ruolo esso ricopre.
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