il piano complesso C
ovvero il piano dei numeri complessi
- Come ogni struttura matematica, il piano C è
costituito da elementi primitivi che vengono implicitamente
definiti da proprietà che essi verificano (detti assiomi o
postulati).
- Allo stesso modo che in tutte le altre teorie matematiche, bisogna
ben distinguere l'aspetto sintattico, per il quale gli elementi
della teoria sono puri simboli e gli assiomi sono formule
che li contengono, e quello semantico, che fornisce di tali
simboli una interpretazione concreta, mediante oggetti di un modello,
grafico nel caso di C, per i quali sussistono le proprietà espresse
dagli assiomi.
- Gli elementi primitivi del piano complesso sono:
- un insieme, indicato con C, i cui elementi sono detti numeri complessi,
rappresentati dai punti di un piano;
- un punto, 0 (detto zero o origine);
- un operatore, - (detto meno o
opposizione); tale operatore va da C a C: ad esempio ad un elemento
u associa - u (detto opposto di u); vedremo in seguito come
si realizza graficamente tale operatore;
- un'operazione (operatore a due argomenti, ossia a due input), +
(detta addizione): entrambi gli argomenti di tale operazione sono
numeri complessi: ad esempio a z e w corrisponde il valore
indicato come z+w, detto somma di z e w oppure x
più v; vedremo in seguito come si realizza graficamente tale operazione;
- un sottoinsieme di C (in verde nella figura), indicato con R+,
i cui elementi sono detti numeri reali positivi o semplicemente
numeri positivi; se x è positivo, allora - x
(opposto di x) è detto negativo; la rappresentazione grafica di tale
insieme è data da una semiretta che parte da 0, privata dello stesso 0;
- un secondo punto, 1 (detto uno o unità reale), che
appartiene a R+ (ossia è un numero reale positivo);
- una seconda operazione, • (detta moltiplicazione): il
primo argomento deve essere un numero reale (ossia o un numero
positivo, o lo zero, o un numero negativo), mentre il secondo argomento è un
numero complesso; spesso fra i due argomenti il • si omette: ad
esempio ad x e v associa x v, detto prodotto
di x e v oppure x per v; vedremo in
seguito come si realizza graficamente tale operazione;
- un terzo punto i (detto unità immaginaria); a
volte al posto di tale simbolo si usa il simbolo j (i
lunga); vedremo successivamente come tale punto è collocato nel modello
grafico rispetto agli altri due (0 e 1) e che ruolo esso ricopre.
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