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proporzioni fra numeri complessi

  • coordinate (ortonormali) di un punto rispetto a un vettore non nullo: sono i due numeri reali x e y,ossia la coppia (x,y), tali che: a = x•u + y•ort(u).
      Notazione: a u ( x , y ).
      Esempi: x+yi 1 ( x , y ) ;   (x+yi)w w ( x , y )
  • proporzioni tramite coordinate ortonormali:
    se v e w sono non nulli, la scrittura: v' : v = w' : w significa: v'v (x,y) e w'w (x,y) con gli stessi x e y
  • proporzioni tramite roto-omotetie: zw : w = zv : v in quanto Rz porta w in zw e porta v in zv
  • rapporto di zw a w: sussiste la proporzione:
    zw : w = z : 1. Il numero complesso z è detto rapporto fra zw e w o rapporto di zw a w
  • dato w' e dato w non nullo, esiste uno e un solo z tale che w':w=z:1 (ovvero: z è il rapporto di w' a w).
    Si pone: z = w'/w
  • proporzioni come uguaglianze di rapporti: se v e w sono non nulli, v' : v = w' : w equivale alla uguaglianza   v'/v = w'/w
     
  • proprietà:
  • inverso di z: se z non è nullo, esiste un z', non nullo anch'esso, tale che   z' : 1 = 1 : z. Quindi z'=1/z
  • inversione di un elemento non nullo: se z è non nullo e z' è il suo inverso, la roto-omotetia Rz' porta 1 in z' e porta z in 1. L'ultima condizione significa: Rz'(z) = z•z' = 1
  • divisione in C: se z è non nullo e u è in C, la roto-omotetia Ru/z porta z in u, mentre la roto-omotetia R1/z porta z in 1 (pertanto la roto-omotetia Ru(1/z) porta z in u); quindi Ru/z=Ru(1/z), ovvero si ha: u/z=u(1/z)
  • inversione di una roto-omotetia non degenere: se z non è nullo, R1/z è l'inversa di Rz
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