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la moltiplicazione a coefficienti reali

  • graficamente la moltiplicazione a coefficienti reali viene realizzata tramite la regola delle parallele di Talete: il segmento congiungente x con xv č parallelo al segmento congiungente 1 con v
     
  • matematicamente definiremo la moltiplicazione a coefficienti reali come un'operazione da RxC a C, che porta R+ x R+ in R+ (ossia: il prodotto di numeri positivi č un numero positivo) e che gode delle seguenti 4 proprietą (assiomi della moltiplicazione a coefficienti reali, o assiomi moltiplicativi):
  • a partire da questi quattro assiomi si possono dimostrare vari teoremi sulla moltiplicazione a coefficienti reali: propričtą di assorbimento dello zero, associazione del segno meno, sottomultipli ottenuti come prodotto, ecc.
     
  • la moltiplicazione in R: quando v appartiene all'asse reale, xv diventa ovviamente il prodotto fra due numeri reali; continua a valere la regola grafica di Talete, ma usando un punto fuori di R come ponte per il trasporto parallelo.

    La moltiplicazione in R ha specifiche proprietą (deducibili dai quattro assiomi sui numeri reali):
  • monotonicitą: se   x > 0   e   y < y', allora   xy < xy' (segue subito dalla distributibitą a sinistra e dal fatto che la moltiplicazione porta fattori positivi in un prodotto positivo)
  • archimedeitą: dati due numeri reali positivi   r  e  x,  esiste un numero naturale n tale che   x < nr
  • commutativitą della moltiplicazione in R: xy = yx
  • invertibilitą della moltiplicazione in   R* = R - {0}: per ogni x numero reale non nullo esiste un numero reale non nullo, indicato con 1/x, tale che x(1/x) = 1
     
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