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prolungamento continuo di una funzione lineare razionale

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• Nella figura è presente il solito punto  a  e vedi rappresentate l'ascissa 1/6 tramite il punto m=(1/6,0), l'ascissa 2, pari a 12/6 e quindi multiplo di 1/6, tramite il punto k=(2,0). Il punto  k  può esser mosso spostando orizzontalmente il punto  c  e, al variare di  k  assumendo solo valori (anche negativi) che sono multipli di  m, il punto  h=(k,a·k) varia sulla funzione lineare razionale di coefficiente  a, di cui è data in rosso una rappresentazione a segmenti verticali relativamente alla parte compresa fra l'ascissa  0  e l'ascissa del punto b (puoi muovere anch'esso, facendogli assumere anche ascisse negative).
  Spostando il punto  d  verso destra si infittisce la rappresentazione, passando a valori via via più bassi di m, corrispondenti però sempre ad una frazione del tipo 1/n. Portando  d  sufficientemente lontano dall'asse delle ordinate, si arriva a far diventare l'insieme dei segmenti una figura continua, modificabile spostando b (e in tal caso il punto h  appare muoversi senza scatti apprezzabili).
   

• L'esplorazione appena effettuata potrebbe far supporre che, considerando tutti i numeri razionali (quindi infinitamente di più di quanti ne siano necessari per vedere la figura come un riempimento continuo), la funzione lineare razionale  f  definita facendo variare  x  su tutto  Q  nella espressione  a·x, ossia l'insieme f={(x,a·x) : x∈Q} di tutte le possibili posizioni del punto  h, sia una retta continua. Ma, come già sai, l'insieme  Q   dei numeri razionali non esaurisce tutto l'asse delle ascisse, in quanto ad esso vanno aggiunti i numeri irrazionali per ottenere tutto l'asse delle ascisse. Di conseguenza occorre definire la funzione  f  anche sui numeri irrazionali, ossia è necessario un  prolungamento continuo  della funzione lineare razionale a tutto l'insieme  R  dei numeri reali (ossia dei numeri razionali e irrazionali).
   

• La costruzione rigorosa di tale prolungamento continuo (detto anche prolungamento per continuità) richiederebbe strumenti matematici troppo sofisticati per il livello di questa trattazione, basati sulla enucleazione completa delle proprietà di base dell'insieme R. Possiamo però brevemente sintetizzare tale procedimento dicendo che, dato un numero irrazionale  x, esso è approssimabile con una successione  {x_n}_n∈N  di numeri razionali (ad esempio le sue approssimazioni per difetto o quelle per eccesso) e per ognuno di tali  x_n  la funzione  f  è definita e vale  f(x_n)=a·x_n. La successione {f(x_n)}_n∈N  approssima (e questo va dimostrato rigorosamente) un certo numero reale  y. Ebbene, si può dimostrare che tale numero  y  non dipende  dalla particolare  successione approssimante  che approssima  x;  e si pone, per definizione,  f(x)=y.
   

• La funzione prolungata  f  (continuiamo a chiamarla così anche dopo il prolungamento a  R) così ottenuta permette di definire il prodotto del numero reale  a  per il numero reale  x  definendo come prodotto a·x il numero  f(x).
  Tale funzione  f, oltre ad essere  continua (il che intuitivamente significa che non ha buchi, e quindi può essere immaginariamente tracciata senza interruzioni),  gode della proprietà fondamentale  f(x+x')=f(x)+f(x') per ogni scelta di  x  e di  x'  in  R.