mappa

<<

prolungamento continuo di una funzione esponenziale razionale

>>

• Il funzionamento della figura di questa sezione è del tutto analogo a quello visto nella sezione precedente. Vediamo qui di séguito solo le differenze nel contenuto matematico sottostante.
  La funzione qui implicata è la funzione esponenziale razionale, ossia   f = { ( x , a^x ) :  x∈Q }.
   

• Per definire il prolungamento di  f  a  R, che si denota con il simbolo  exp_a, seguiamo un processo del tutto analogo a quello intuitivo visto precedentemente: dato un numero irrazionale  x, esso è approssimabile con una successione  {x_n}_n∈N  di numeri razionali (ad esempio le sue approssimazioni per difetto o quelle per eccesso) e per ognuno di tali  x_n  la funzione  f  è definita e vale  f(x_n)=a^xn=exp_a(x_n). La successione {f(x_n)}_n∈N  approssima (e questo va dimostrato rigorosamente) un certo numero reale  y. Ebbene, si può dimostrare che tale numero  y  non dipende  dalla particolare  successione approssimante  che approssima  x;  e si pone, per definizione,  f(x)=y.
   

• La funzione prolungata  f=exp_a  (continuiamo a chiamarla così anche dopo il prolungamento a  R) così ottenuta permette di definire la potenza del numero reale  a  (detto base della potenza) elevato al numero reale  x  (detto esponente della potenza)  definendo come potenza  a^x  il numero  f(x)=exp_a(x). Spesso, in assenza di ambiguità, si omettono le parentesi, scrivendo semplicemente  exp_ax.
  Tale funzione  f, oltre ad essere  continua (il che intuitivamente significa che non ha buchi, e quindi può essere immaginariamente tracciata senza interruzioni),  gode della proprietà fondamentale  f(x+x')=f(x)·f(x') per ogni scelta di  x  e di  x'  in  R, come estensione a R della proprietà  a^x+x'=a^x·a^x', che abbiamo già visto per x∈Q e x'∈Q.  
   

• Il simbolo exp  ( senza base! ) è utilizzato per indicare quella particolare funzione esponenziale che nel punto (0,1) ha una retta tangente di pendenza 1 (e che quindi forma un angolo di 45 gradi con l'asse delle ascisse). Si dimostra che il numero che è base di tale esponenziale è un numero irrazionale, poco più grande di 2.71. Esso è detto numero di Nepero (o di Eulero) ed è indicato con  e   (proprio in omaggio ad  Eulero ). Quindi:  exp=exp_e  e  exp(1)=e. La funzione  exp  è detta esponenziale naturale.