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In figura vediamo ancora un punto a
sull'asse delle ordinate e k è
come prima il punto (1,a);
clicca sulla figura e poi premi più volte (ad esempio tre volte) la barra
spaziatrice:
il punto n, partendo dalla posizione
iniziale di ascissa zero, cresce prendendo ascisse
1, 2, 3 e il punto h parte dalla
posizione (0,1) e si muove a
scatti passando prima a coincidere con k
e poi assumendo altre posizioni che hanno ascisse 2 e
3 e che ci
proponiamo di capire come vengono assunte.
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Puoi azzerare tutto col tasto c (dalla tastiera) e
ripetere la pressione della barra spaziatrice;
inoltre, portando il punto c
della figura più in basso o più in alto puoi evidenziare altre 8 modalità di
rappresentazione (se c scende di una unità i punti vengono collegati, se
scende di due unità vengono visualizzate solo le ordinate, se scende di
tre unità vengono combinate le due precedenti visualizzazioni, se scende
di quattro o più unità vengono visualizzate le ordinate e i gradini
effettuati nel passaggio da un punto al successivo; le stesse 4 modalità
si ottengono spostando c sopra l'asse delle ascisse,
evidenziando però in più, questa volta, una curva, detta
esponenziale, oggetto delle prossime
esplorazioni).
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Indichiamo con sn
l'ordinata di h
corrispondente all'ascissa n del
generico punto ottenuto con la barra spaziatrice:
il punto h assume le posizioni:
h0=(0,1) ,
h1=(1,a) ,
h2=(2,a·a)=(2,a2), e in generale hn=(n,sn)=(n,an);
quindi la successione s ha
i termini che partono da 1 e ogni
termine è ottenuto dal precedente moltiplicandolo
per a.
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Mentre una progressione aritmetica di
termine iniziale 0
aggiunge a
ad ogni termine per passare al successivo,
qui abbiamo una progressione geometrica
di termine iniziale 1 , che
moltiplica per a
ogni termine per passare al successivo. Il
numero a è detto
ragione della progressione
geometrica. Una progressione geometrica di termine iniziale unitario e
ragione a è detta anche
progressione esponenziale di
base a.
In formule: s0=1 (condizione
iniziale) e, per ogni numero naturale
n, si ha sn+1=sn·a (condizione ricorsiva);
e quindi: sn=an
(anche per n=0),
ovvero s={an}n∈N.
Approfondimento
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Adesso se vuoi avere un'idea di dove vogliamo arrivare, porta il punto
c sopra l'asse delle ascisse, a
vari livelli di altezza per avere le solite differenti rappresentazioni, e porta il punto d
(di cui non avevamo ancora parlato) in una posizione più
distante dall'asse delle ordinate, quindi continua con le pressioni della barra
spaziatrice. |