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In figura abbiamo, come è stato finora, i punti
a=(0,a) e
k=(1,a); compare
anche un punto d la cui ascissa è
2 (per il momento non spostarlo). Clicca sulla figura e poi premi più volte la barra
spaziatrice:
il punto h, partendo dalla posizione
iniziale di ascissa e ordinata nulle, si sposta a scatti in modo che la
sua ascissa prenda i valori
1/2, 2, 3/2, 4, 5/2, 6, ... ossia si sposta verso destra
(quindi nella direzione dell'ascissa di d) e
le sue ordinate sono tali che h resta sempre
sulla retta passante per l'origine e per k
(che puoi evidenziare portando il punto c
al di sopra dell'asse delle ascisse).
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Puoi azzerare tutto col tasto c (dalla
tastiera) e ripetere la pressione della barra spaziatrice; inoltre,
portando il punto c della figura più in
basso o più in alto puoi evidenziare altre 8 modalità di rappresentazione
(se c si distanzia dall'asse delle ascisse di
una unità i punti vengono collegati, se di due unità vengono visualizzate
solo le ordinate, se di tre unità vengono combinate le due precedenti
visualizzazioni, se di quattro o più unità vengono visualizzate le
ordinate e i gradini effettuati nel passaggio da un punto al successivo;
secondo che c sta al di sotto o al di sopra
dell'asse delle ascisse, si visualizza o meno la retta congiungente
l'origine con k). Ti conviene lasciare ora
c in una posizione che permetta la
visualizzazione della storia del punto
h)
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Quello che accade al punto
h=(x,f(x)) è che la
x si sposta con
passo di 1/n e si può variare n
allontanando d dall'asse delle ordinate
(provaci, col mouse!) e anche passare a -1/n
portando d a sinistra dell'asse delle
ordinate (prova anche questo!). Quando l'ascissa di
d è pari a 1 si ottiene la successione lineare bilatera
costruita in precedenza (corrispondente a n=1).
Quando n non è 1 si interpola la
successione lineare bilatera (interpolazione
significa: definizione di una funzione per valori situati "fra" valori in
cui essa è già definita).
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Il criterio con cui si effettua l'interpolazione
è questo: aumentando l'ascissa
x di 1/n
l'ordinata f(x+1/n)
aumenta sempre di un certo valore (indichiamolo con
b), che non dipende da x (anche se
dipende dal passo 1/n), ossia:
f(x + 1/n) = f(x) + b
( con b dipendente da n , ma indipendente da x)
e possiamo determinare b facendo
assumere a x successivamente i valori
0, 1/n, 2/n, ..., n/n=1 , trovando così
:
f(1/n)=b=f(0)+b=0+b=b ,
f(2/n)=f(1/n)+b=b+b=2b , ... , a=f(1)=f(n/n)=b+...(n
addendi)...+b)=n·b
per cui b=a/n; quindi il passo
dell'ascissa è 1/n, mentre quello
dell'ordinata è a/n, e perciò avremo:
f(0)=0 , f(1/n)=a/n
, f(2/n)=2·a/n , ... e in generale
f(m/n)=m·a/n=a·(m/n) (con m
naturale).
Per effettuare l'interpolazione nel semiasse negativo delle
ascisse, ossia per definire f sui numeri razionali negativi,
basterà, come abbiamo già fatto in precedenza per l'estrapolazione,
invertire la formula
f(x+1/n)=f(x)+b scrivendola nella forma
(equivalente) f(x)=f(x+1/n)-b.
In tal modo determiniamo:
f(-1/n)=f(0)-a/n=-a/n ,
f(-2/n)=f(-1/n)-a/n=-2·a/n , ... e in generale
f(-m/n)=-m·a/n=a·(-m/n) .
In definitiva abbiamo definito f su
tutto l'insieme Q dei
numeri razionali ottenendo f(x)=a·x,
per ogni x∈Q.
Chiameremo tale funzione: funzione lineare razionale
con coefficiente a. Approfondimento.
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