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estrapolazione di una progressione esponenziale

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• In figura è visualizzato come prima un punto (0,a), denominato semplicemente  a, (che come sai e spostabile col mouse). Il punto  k  è  (1,a); clicca sulla figura e poi premi più volte (ad esempio tre volte) la barra spaziatrice: l'ascissa di  h, partendo dal valore iniziale nullo, decresce prendendo ascisse  -1, -2, -3,...  e il punto  h  parte dalla posizione  (0,0)  e si muove a scatti assumendo posizioni che hanno ascisse  -2, -3,...  e che ci proponiamo di capire come vengono assunte.
   

• Puoi azzerare tutto col tasto c (dalla tastiera)  e ripetere la pressione della barra spaziatrice; inoltre, portando il punto  c  della figura più in basso o più in alto puoi evidenziare altre 8 modalità di rappresentazione (se c si distanzia dall'asse delle ascisse di una unità i punti vengono collegati, se di due unità vengono visualizzate solo le ordinate, se di tre unità vengono combinate le due precedenti visualizzazioni, se di quattro o più unità vengono visualizzate le ordinate e i gradini effettuati nel passaggio da un punto al successivo; secondo che  c  sta al di sotto o al di sopra dell'asse delle ascisse, si visualizza o meno la curva esponenziale). Ti conviene lasciare ora c in una posizione che permetta la visualizzazione della  storia  del punto h)
   

• Ricordiamo che abbiamo costruito una progressione geometrica di termine iniziale 1, ossia una progressione esponenziale, considerando un numero a (detto "ragione") e costruendo tale progressione come quella funzione  f  che vale 1 in corrispondenza all'ascissa 0, ossia  f(0)=1, e che per ogni incremento unitario dell'ascissa moltiplica per  a  il suo valore, ossia  f(n+1)=f(n)·a.  Questa legge, per valori naturali di n, conduce, come visto, ad avere: f(n)=aⁿ.
   

• Utilizziamo adesso lo stesso procedimento estrapolativo visto nella sezione precedente per estrapolare progressioni lineari.  Posto che sia  a  diverso da  0  (in caso contrario la progressione è identicamente nulla), la legge    f(n+1)=f(n)·a   equivale alla legge   f(n)=f(n+1)/a, che  (applicata a valori negativi di n)  permette di ottenere:
        f(-1)=f(0)/a=1/a ,  f(-2)=f(-1)/a=(1/a)/a=1/a² ,  f(-3)=f(-2)/a=(1/a²)/a=1/a³ , ...   e in generale  f(-m)=1/a^m.
  Desumiamo da ciò che in figura le ordinate di h (che partono dal valore 1), ad ogni pressione della barra spaziatrice vengono divise per a, ottenendo: h₀=(0,1) ,  h₁=(1,1/a)=k , h₂=(2,1/a²), ... (in generale  h_m=(-m,f(-m))=(-m,1/a^m)).
  Ciò conduce a definire:   a^-m=1/a^m, per m∈N, ovvero:  aⁿ=1/a^-n, per n=-1,-2,-3,... . Ponendo  f(n)=aⁿ, per ogni n∈Z, è praticamente immediata la verifica che effettivamente tale funzione  f  ha la proprietà  f(n+1)=f(n)·a.
     Deduzione formale delle proprietà.