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esponenziale dell'opposto

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• Prendiamo qui in esame la proprietà seguente:   a^-x = (1/a)^x = 1 / a^x : 
  l'esponenziale, in una data base, dell'opposto della variabile è anch'essa una funzione esponenziale, avente per base il reciproco della base data e coincide anche con la reciproca della funzione esponenziale nella base data.
   

• Nella figura di sopra vedi inizialmente la sessa costruzione che era stata data in una sezione precedente per illustrare la proprietà fondamentale f(x+x')=f(x)·f(x'). In particolare: x=b, x'=c, x+x'=n, h=(b,a^b), k=(c,a^c) e infine m=(b+c,a^b+c)=(b+c,a^b·a^c). Sposta orizzontalmente  c  fino a fargli assumere la posizione opposta a quella di  b , ossia prendi  x'=-x nella formula fondamentale. Quando questo spostamento sarà effettuato (puoi eventualmente ingrandire la figura pigiando una o più volte sul tasto  +  sulla tastiera e ricentrarla trascinandola muovendo il mouse col tasto destro premuto), la somma x+x' (che in figura è il punto n) coinciderà con 0, in quanto se  x'=-x  si ha  x+x'=0. Si avrà anche  m=(0,1), in quando b+c sarà diventato nullo e quindi a^b+c=a⁰=1; inoltre si avrà  k=(-b,a^-b). Adesso porta il punto d  sotto l'asse delle ascisse; ciò farà assestare meglio la figura che hai creato perché passa in automatico a porre x'=-x; inoltre il punto  n  prende adesso un altro ruolo (il precedente di somma di x è x' non serve più, visto che tale somma adesso è nulla) e diventa il simmetrico di  k=(-b,a^-b)  rispetto all'asse delle ordinate, ossia  n=(b,a^-b). Quindi adesso  n  varierà, muovendo x=b in orizzontale, sulla funzione  x→a^-x. Spostando ulteriormente  d  (sempre dal disotto dell'asse delle ascisse) a sinistra dell'asse delle ordinate, si evidenzia tale funzione, che viene così ad avere grafico simmetrico, rispetto all'asse delle ordinate, del grafico di  exp_a : x→a^x.
   

• Adesso veniamo al significato matematico:  quando  x'=-x, la formula fondamentale  f(x+x')=f(x)·f(x') diventa f(0)=f(x)·f(-x), e, siccome f(0)=1, ricaviamo che f(x)·f(-x)=1, ossia che  f(-x)=1/f(x). Quest'ultimaa non è altro all'uguaglianza  a^-x=1/a^x  (primo e terzo membro della catena di uguaglianze costituenti la proprietà scritta all'inizio). La parte  a^-x=(1/a)^x  invece è immediata conseguenza dell'altra proprietà  a^kx = (a^k)^x considerata con  -1  al posto di k.
  Un altro modo per esprimere che   a^-x = 1/a^x  è il seguente:  se    h=( x , y ) ∈ exp_a  ,   allora    k=( - x , 1 /y ) ∈ exp_a , mentre un altro modo per esprimere che  1/a^x = (1/a)^x  è:  se  h=( x , y ) ∈ exp_a  ,   allora    n=( x , 1 /y ) ∈ exp_1/a .
   

• Un'ultima osservazione: la proprietà esaminata in questa sezione è una conseguenza di entrambe le due precedenti proprietà dell'esponenziale di un prodotto e del prodotto di esponenziali.
  Come abbiamo appena visto, la parte  a^-x=(1/a)^x deriva da  a^kx = (a^k)^x   ma è anche implicita nella formula   a^x·b^x=(a·b)^x, prendendo b=1/a.