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esponenziale del prodotto

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• Prendiamo qui in esame la proprietà seguente:   a^kx = (a^k)^x  : 
  l'esponenziale, in una data base, di un multiplo della variabile (prodotto di un coefficiente per la variabile) è anch'essa una funzione esponenziale, avente per base la potenza costituita dalla base data elevata al coefficiente di moltiplicazione.
   

• La curva blu è la funzione esponenziale in base  a , quindi  f : x → a^x,  ossia  f = {(x,y) :  y=a^x }, mentre la curva rossa è la funzione  g  ottenuta per stiramento orizzontale di fattore  c  , ossia l'ascissa di ogni coppia costituente  f  è moltiplicata per il fattore  c ,  per cui: 
        g =  {(c·x,y) :  y=a^x } = {(x',y) :  y=a^x'/c },  ossia, ponendo  k=1/c,      g : x → a^kx.
  Nella figura l'ascissa variabile  x  è l'ascissa del punto  d  (mobile col mouse),   m=(x,g(x))  e  h=(kx,f(kx)).
  Quando  x=1  si ha  m=(1,a^k)  e   h=(k,f(k))=(k,a^k).
  Si pone il problema: la funzione  g , che passa per (0,1) e per (1,a^k), è l'esponenziale in base a^k ?
  La risposta positiva, che equivale a dire che  g(x)=(a^k)^x, ossia equivale all'uguaglianza (scritta nel titolo)  a^kx=(a^k)^x, è mostrabile in figura portando il punto b sull'asse delle ordinate (o anche leggermente alla sua destra), il che fa trasformare la curva blu nella funzione esponenziale  x → b^x,  e portando  b  a coincidere con  a^k  (che è l'ordinata di  m  o di  h  quando  d  ha ascissa 1).
   

• Per provare rigorosamente (e non solo mostrare graficamente) che la funzione   g : x → a^kx  coincide con la funzione esponenziale in base  a^k, basta, per via della proprietà vista dell'unicità,  accertarsi che la funzione  g  porti somme in prodotti e che  g(1)=a^k. E ciò è pressoché immediato.