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andamento di una funzione esponenziale

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• Nella figura vedi la funzione esponenziale in base  a, che abbiamo indicato con exp_a (puoi muovere col mouse il punto a; ha effetto solo la sua variazione in verticale), il punto k=(1,a), il punto  c  la cui ascissa è la variabile di solito indicata conx dell'asse delle ascisse (puoi muovere anche il punto c; ha effetto solo la sua variazione in orizzontale), il punto  h=(c,a^c)=(x,a^x) che varia sulla funzione  exp_a  al variare di x=c sull'asse delle ascisse, e infine il punto m=(0,a^c)=(0,a^x) che rappresenta il valore a^x (rappresentato come al solito sull'asse delle ordinate) della funzione  exp_a  in corrispondenza all'ascissa variabile data  x=c.
  Enucleiamo delle caratteristiche di una funzione esponenziale (alcune già studiate):
   

• Innanzitutto la base  a  deve essere un numero positivo (spostando a sotto l'asse delle ascisse la funzione scompare); la funzione  exp_a passa per il punto k=(1,a), per ogni valore della base  a (verificalo spostando a); inoltre facendo variare  x=c  sull'asse delle ascisse il punto  h=(c,a^c)=(x,a^x)  resta sempre al di sopra dell'asse delle ascisse, ossia  a^x>0 per ogni x∈R. Una funzione è detta positiva se assume solo valori positivi. Pertanto la funzione  exp_a  è  positiva  per ogni valore della base a (ovviamente, come abbiamo visto, positivo). Infine, se  a  è diverso da  1  la funzione exp_a  assume tutti i possibili valori reali positivi.
   

• Spostando  da sinistra a destra  x=c vediamo che h (e quindi m) sale (ossia cresce) nel caso sia a>1, scende (ossia decresce) se a<1 e rimane costantemente pari a 1 se  a=1 (prova le tre configurazioni di  a  e ogni volta fai variare  c). Pertanto la funzione  exp_a può essere  crescente,  costante  o  decrescente  a seconda che sia  a>1, a=1, 0<a<1 (che sono i tre casi possibili per la base). Le proprietà relative alla crescita, decrescita, non crescita e non decrescita (il restare costante rientra in entrambe le ultime due situazioni)  di una funzione sono dette proprietà di monotonìa. Inoltre, se  a  è diverso da  1  il punto h si avvicina sempre di più, senza mai toccarlo, all'asse delle ascisse, ma in due modi diversi: dalla parte del semiasse negativo se a>1 (coerentemente con il fatto che in tal caso la funzione è crescente) e dalla parte del semiasse positivo se 0<a<1 (coerentemente con il fatto che in tal caso la funzione è decrescente). Si esprime tecnicamente questo fatto dicendo che l'asse delle ascisse è un asintoto (letteralmente: oggetto senza contatto) per la funzione.
   

• Tutte le funzioni esponenziali passano per il punto (0,1) (ognuna di esse vale 1 se il suo argomento vale 0). Esse costituiscono un fascio di curve imperniato in tale punto (al variare di a è l'unico punto in cui si intersecano; detto altrimenti: due esponenziali distinte, quindi con diverse basi, si intersecano solo in tale punto). Come detto prima, ogni  exp_a  passa per (1,a); inoltre, fissato un qualunque  a>0, esiste una sola funzione continua  f  che passa per (1,a), ossia che vale  a  in corrispondenza a  1, e che associa a una somma  x+x'  il prodotto dei valori  f(x) e f(x'); e quindi questa unica funzione è proprio  exp_a. Tale  unicità  dipende essenzialmente dal fatto che la proprietà f(x+x')=f(x)·f(x') comporta intanto che f(x) non sia mai nullo (se per un certo c si avesse f(c)=0, allora f(x)=f((x-c)+c)=f(x-c)·f(c)=0, la funzione sarebbe quindi sempre nulla, anche per x=1 e non potrebbe associare a  1  il valore positivo  a), comporta anche che a=f(1)=f(1+0)=f(1)·f(0)=a·f(0) e quindi che f(0)=1, e comporta anche che  f(x+1/n)=f(x)·f(1/n)  per ogni numero naturale non nullo  n, proprietà da cui avevamo preso spunto per ottenere che  f(1/n)  è la radice n-esima di  a=f(1)  con la conseguente definizione data nella sezione sull'interpolazione. Quindi il fatto di portare somme in prodotti obbliga una funzione f all'uguaglianza f(m/n)=f(1)^m/n=a^m/n. E siccome l'insieme Q dei numeri razionali è  denso  nell'insieme R dei numeri reali (ossia ogni numero reale può essere approssimato quanto si vuole con dei numeri razionali) ecco che l'obbligo di comportarsi rigidamente come exp_a su Q comporta l'obbligo di essere  exp_a  anche su  R, a meno di non voler perdere la continuità.