Approfondimento: alcuni teoremi sulla moltiplicazione a coefficienti reali

Dagli assiomi riguardanti la moltiplicazione da RxC a C possono essere ricavate alcune importanti proprietā, usate nel calcolo:

• 0·z = 0
  • da: (0+0)·z=0·z si ricava (distributivitā a destra): 0·z + 0·z = 0·z, da cui: 0·z = 0·z - 0·z = 0
• x·0 = 0
• analogamente a sopra (ma con la distributivitā a sinistra): x·(0+0)=x·0, da cui x·0+x·0=x·0, da cui x·0=0
• (-x)·z = x·(-z) = - x·z
  • da: (x-x)z=0z si ricava x·z+(-x)·z=0 da cui (-x)·z=-x·z. Analogamente si dimostra la parte: x·(-z)=-x·z
• (1/n)·x = x/n   (con x reale e n naturale non nullo)
  • facciamo l'esempio di n=3: da (1/3 +1/3 + 1/3)·x=1·x=x si ha: (1/3)·x +(1/3)·x + (1/3)·x = x, da cui: (1/3)·x = x/3
• (m/n)·x = m·(x/n) = (m·x)/n   (con x reale, n naturale non nullo e m intero)
  • si dimostra prima per m=1 (ed č immediato) e poi - per induzione - supposto valido per m, lo si dimostra per m+1 mediante la distributivitā.