moltiplicazione con coefficiente intero

nella seguente clicca ripetutamene sul pulsante Step ( per tornare all'inizio clicca invece sul pulsante Clear )

invece di Step si può cliccare sulla figura (solo una prima volta per selezionarla) e premere la barra spaziatrice più volte

puoi ingrandire o rimpicciolire tutta la figura con i tasti + e -

notiamo che nb è costruito da b tramite l'addizione così come n è costruito da 1 con l'addizione ( "nb sta a b come n sta 1" )

in maniera diversa possiamo dire: nb è la somma di n copie di b (ossia è il risultato del sommare b a se stesso n volte)

mentre n cresce descrivendo i numeri naturali, m = -n decresce descrivendo gli interi negativi ( dopo la partenza da 0 )

anche per mb = (-n)b possiamo dire che come m è costruito da 1 tramite addizione e opposizione, così mb è ottenuto da b
infatti, possiamo prima passare da 1 a -1 (con l'opposizione) e poi sommare tanti -1 fino ad arrivare a -n ; questo porta a costruire, partendo da b, prima -b e quindi n(-b), che coincide con -nb
alternativamente, possiamo partire dal sommare tante volte 1 fino ad arrivare a n e poi con l'opposizione passare a -n ; questo altro procedimento porta a costruire mb sommando n volte b per arrivare a nb e poi passando all'opposto -nb
in entrambi i casi giungiamo a definire : (-n)b := - nb
l'espressione xb (nel nostro caso x=n o x=-n) è detta "prodotto di x per b" ; x è detto "moltiplicatore" o "coefficiente", mentre b è detto "moltiplicando" (ossia : cosa da moltiplicare)
"moltiplicazione" è invece l'operazione che porta dalla coppia (moltiplicatore , moltiplicando) al prodotto
Conclusione : moltiplicare un moltiplicatore per un moltiplicando significa determinare un prodotto ottenuto a partire dal moltiplicando con lo stesso processo con cui si costruisce il moltiplicatore a partire dall'unità usando addizione ed eventualmente opposizione

moltiplicazione con coefficiente frazionario

nella seguente clicca ripetutamene sul pulsante Step

1/n è costruito partendo da 1 in modo che n volte 1/n dia 1, così (1/n)b è costruito da b in modo che n volte (1/n)b dia b, quindi (1/n)b è quel numero x tale che nx=b ( e tale x si indica con b/n )
-1/n  è costruito partendo da 1 in modo che n volte  -1/n dia  -1 , così  (-1/n)b  è costruito da  b  in modo che  n volte  (-1/n)b  dia  -b , quindi  (-1/n)b è quel numero x tale che nx=-b

( e tale x è (-b)/n = -b/n )
notiamo che anche nei due precedenti punti si sono utilizzate solo l'addizione e l'opposizione (ossia la simmetria rispetto allo zero)
se m è un numero intero positivo, m/n è costruito a partire da 1 sommando m volte quel numero che sommato n volte dà 1, così (m/n)b è costruito da b sommando m volte quel numero che sommato n volte dà b, quindi (m/n)b = m(b/n)
se m è un numero intero positivo, -m/n è costruito a partire da 1 sommando m volte quel numero che sommato n volte dà -1 ,  così       (-m/n)b è costruito da b sommando m volte quel numero che sommato n volte dà -b, quindi

(-m/n)b=m(-b/n)=-m(b/n)=-(m/n)b
anche negli ultimi casi sono usate solo addizione e opposizione

nella seguente scegli prima g e poi usa il pulsante Step ( il valore di n è anche riportato nello stesso pulsante Step)

per la moltiplicazione con coefficiente complesso vedi    qui