la retta passante per i punti (h,0) e (0,k), con k=1-h, ha pendenza -k/h, e quindi ha equazione y=(-k/h)x+k, ossia y=(h-1)x/h+1-h. Indicando tale retta con r(h) si ottiene una famiglia di rette indiciata col parametro h≠0. Fissato un valore di h e considerato un altro valore h' di tale parametro, le rette r(h) e r(h') si intersecano in un punto (x,y)∈r(h) tale che: (h-1)x/h+1-h=(h'-1)x/h'+1-h'. Risolvendo tale equazione si determina x=h·h' e la y è determinata dal fatto che (x,y) sta su r(h): quindi y=(h-1)h'+1-h. Se h' tende ad h si ottiene che x tende a h² e y tende a (h-1)h+1-h=(h-1)². Pertanto nel punto (h²,(h-1)²) la retta r(h) tende a intersecare una qualunque altra retta r(h') che tende a r(h). Il luogo dei punti (h²,(h-1)²) è detto inviluppo della famiglia {r(h)}_h≠0.
Ponendo h²=ξ≥0, otteniamo l'equazione cartesiana della parte di tale luogo contenuta nel semipiano delle ascisse non negative:
η = 1 + ξ - 2·√ξ   ( che è come scrivere:  y = 1 + x - 2·√x ).

Adesso generalizziamo.
Supponiamo che la generica retta r(h) della famiglia di rette sia definita come la retta passante per h≠0 e un punto (0,f(h)), dove f è una funzione scelta a piacere (nel caso precedente era f(h)=1-h). Prova a ricostruire, con la stessa metodologia usata nel caso appena mostrato, qual è la formula che dà il luogo dell'inviluppo della famiglia {r(h)}_h≠0.
Ti preannuncio la soluzione: nell'ipotesi che la funzione f sia derivabile, il luogo è descritto, al variare del parametro h, dal punto che ha ascissa x = f'(h)h²/(f'(h)h-f(h)) e ordinata y presa in modo che tale punto sia su r(h), quindi:
y = (-f(h)/h)x + f(h) = f(h)f'(h)h/(f(h)-f'(h)h) + f(h). Ovviamente il parametro h≠0 non può assumere i valori che annullano il denominatore f'(h)h-f(h).

il pulsante Plot lascia la traccia di m (e anche degli altri punti definiti nelle caselle), il pulsante Spin avvia/ferma l'animazione (che si interrompe anche cliccando sulla figura). Con Clear si ripulisce il grafico. Puoi modificare la funzione seno con un'altra funzione a piacere: ferma l'animazione (clicca sull'applet oppure deseleziona Spin), ripulisci il grafico (Clear, automaticamente si deseleziona Plot), modifica la funzione sia nella casella f (usando l'argomento h) sia nella casella g (usando l'argomento k), riseleziona sia Plot sia Spin.
Il punto m è l'intersezione delle due rette (molto vicine) hf e kg