Regole di base
1) la base è ortogonale,
ossia: ogni vettore della base B è ortogonale ai
restanti vettori della base ;
2) in ogni piano coordinato vale l'ortogonalità planare,
ossia: se u e v sono due vettori della base due
vettori au+bv e cu+dv sono ortogonali quando ac+bd=0 ;
3) l'ortogonalità è linearmente invariante,
ossia: se u è ortogonale a uno o più vettori dati
allora, per ogni scelta del numero reale x, xu e ogni
combinazione lineare di tali vettori sono
mutuamente ortogonali (cioè uno ortogonale all'altro) ;
4) l'ortogonalità non è banale,
ossia: dato un generico vettore u non
nullo, esistono vettori cui u non è ortogonale. |
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Casi notevoli
I) il vettore nullo è (per la 2) ortogonale a tutti i vettori della base e
quindi (per la 3) a tutti i vettori dello spazio ;
II) siano u, v e w tre vettori distinti della base B (ad esempio u=i, v=j,
w=k). Un vettore au+bv è ortogonale (per la 2) a -bu+av e inoltre (per la
1) w è ortogonale a u e a v e quindi (per la 3) au+bv è ortogonale a w.
Pertanto (sempre per la 3) au+bv è ortogonale a ogni combinazione lineare
di w e di -bu+av ;
III) se, indicata con n la dimensione (nel nostro caso n=3) della base B e
dato un vettore p non nullo, si trovano n-1 (nel nostro caso n-1=2)
vettori indipendenti cui p è ortogonale, allora (per la 3) p è ortogonale
a tutti i vettori del sottospazio (nel nostro caso tale sottospazio è un
piano) da essi generato. I vettori di tale sottospazio esauriscono
l'insieme dei vettori cui p è ortogonale, in quanto se vi fosse un
ulteriore vettore q non appartenente a tale sottospazio e tale che p sia
ortogonale anche a q, seguirebbe (sempre dalla 3) che p è ortogonale a
tutte le combinazioni lineari di q e di vettori di detto sottospazio,
ossia a tutti i vettori dello spazio, contro l'ipotesi 4 ;
IV) sia p=ai+bj+ck un vettore non nullo e siano p'=bj+ck, p''=ai+ck, p'''=ai+bj;
abbiamo (dalla 2) che q'=-cj+bk è ortogonale a p', q''=-ci+ak è
ortogonale a p'' e q'''=-bi+aj è ortogonale a p'''; inoltre (per la 1 e la
3) q', q'' e q''' sono rispettivamente ortogonali a i, j e k. Pertanto
(per la 3) q' e p'+ai=p sono ortogonali, q'' e p''+bj=p sono ortogonali e
infine q''' e p'''+ck=p sono ortogonali. Quindi p è ortogonale a q', a q''
e a q'''. Fra tali tre vettori q', q'' e q''' uno deve essere dipendente
dagli altri due che fra loro devono essere indipendenti. Infatti i
coefficienti a, b e c non possono essere tutti nulli (poiché p non è
nullo) e valgono le relazioni: aq' = bq''-cq''' , bq'' = aq'+cq''' , cq''' = -aq'+bq'';
inoltre, supponendo ad esempio che a non sia nullo si ha, per la prima
delle ultime uguaglianze, q' dipendente da q'' e q''', e tali due vettori
sono indipendenti in quanto rispettivamente appartenenti ai piani
coordinati di (i,k) e di (i,j) ma non alla retta di i (per il fatto che
a non è nullo). In tale caso p è ortogonale a tutte le combinazioni di q''
e q''' e (per quanto visto al punto III) solo ad esse; ciò equivale a dire
(provare per esercizio tale equivalenza) che p=ai+bj+ck è ortogonale a
xi+yj+zk se e solo se ax+by+cz=0. Analogamente si ragiona nei casi di b
non nullo o di c non nullo.
Concludendo: due vettori p=ai+bj+ck e q=a'i+b'j+c'k sono ortogonali se e
solo se aa'+bb'+cc'=0. |
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Definizione di modulo
Dato un punto p=xi+yj+zk si dice modulo di p un numero r non negativo tale
che, detto M il punto medio fra p e ri, i vettori 0M e MP sono ortogonali.
Ciò equivale a dire che 2 0M = p + ri = (x+r)i+yj+zk e 2 MP = p-ri =
(x-r)i+yj+zk sono ortogonali, ossia (x+r)(x-r)+y²+z²=0, ovvero x²-r²+y²+z²=0,
ovvero r²=x²+y²+z². Quindi esiste un unico r che sia modulo di p, ed è la
radice quadrata di x²+y²+z² (teorema di Pitagora nello spazio R³).
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La base
usuale è quella canonica : i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
(coordinate unitarie) ; ma
qualunque base può dare luogo ad una relazione di ortogonalità e, di
conseguenza, a una funzione modulo trattabili con le stesse relazioni
numeriche e riesprimibili nella base canonica mediante formule diverse da
quelle qui date. Pertanto uno spazio vettoriale di dimensione finita
può essere dotato di infinite relazioni di ortogonalità
equivalenti (per cui tale concetto è relativo e non assoluto e la
usuale concezione della perpendicolarità è di natura grafico-empirica e
non teorico-strutturale) tutte esprimibili tramite la stessa formula con
un'opportuna scelta della base. Del resto, le stesse coordinate unitarie
sono attribuibili a una terna di vettori indipendenti graficamente non
ortonormale, così come accade per il
caso bidimensionale (si pensi, ad esempio al caso di rappresentazione
di coppie numeriche sullo schermo di un computer tramite il sistema di
riferimento costituito dai lati di un pixel rettangolare). |