Introduzione assiomatica degli insiemi numerici  R  e  C

Assiomi additivi

 oggetti :   S ( spazio )  ,   0 ∈ S   ,   + : S×S→S    ,   - : S→S
 modello empirico:  punti e regola del parallelogramma o della concatenazione


1) x + y = y + x (commutativitą)
2) (x+y) + z = x + (y+z) (associativitą)
3) x + 0 = x (neutralitą di 0)
4) x + (-x) = 0 (simmetricitą degli opposti)

Definizioni basate sulla sola struttura additiva:

x + y + z := ( x+y ) + z
x+y+z+w :=((x+y)+z)+w , ecc.
x – y := x + ( -y ) (operazione di sottrazione)

Esempi di teoremi basati sulla sola struttura additiva:

x+y =z => x = z–y
(sommando ai due membri –y ; utilizzabile per la risoluzione di equazioni)
- ( -x ) = x
(dalla precedente e dal fatto che (-x)+x=0 )

x + y = 0 => x = – y
(dalla prima con z=0)
0 = - 0         (dalla precedente con x=y=0) ;
- ( x + y ) = -x – y ;
x – y = - ( y – x )

Assiomi di ordine e continuitą
  modello empirico :   semiretta aperta avente origine in 0 e retta da essa individuata

Assiomi di ordine
   oggetto :   R+ ⊂ S       [    R+ č detto “verso (positivo)”   ]

5)  x∈R+   =>   (  x≠0   e  ∃ x’∈R+     x-x’∈R+  ) 
6)  x,y∈R+   =>   x+y ∈R+ 
7) (  x,y ∈ R+   e    x ≠ y  )     =>    (   x-y ∈ R+    o     y-x ∈ R+  )

Definizioni che richiedono anche la struttura d’ordine:

- R+ := { -x : x ∈ R+ }    ( verso negativo di R+ ) ;
R = asse( R+ )  := R+ ∪ ( -R+ ) ∪ {0} ( asse reale )

∀ x , y ∈ R :
                   x < y    :<=>   y-x ∈ R+ 
                   x > y    :<=>   y < x 
                   x ≤ y    :<=>   (y < x)  o  (x=y) 
                   x ≥ y    :<=>    y ≤ x

∀ A, B ⊂  R    ( con   A , B ≠ ∅ )
                  A << B    :<=>    ∀a ∈ A , ∀b ∈ B    a < b
                  x  := max(A)     :<=>    x ∈ A    e    ( ∀a∈A    a≤x )
                  x  := min(B)      :<=>    x ∈ B    e    ( ∀b∈B    x≤b )

Esempi di teoremi:

x ∈ R+   =>  -x ∉ R+ 
R+ ∩ ( -R+ ) = ∅
<  e  >  sono antiriflessive e transitive
≤  e  ≥  sono riflessive, antisimmetriche e transitive
∀ x , y ∈ R        ( x < y )    o   ( x = y )   o   ( x > y )     (legge di tricotomia)
conservazione additiva delle disuguaglianze :
                                        x < y   =>   x+z < y+z 
                                        x > y   =>   x+z > y+z 
                                        x ≤ y   =>   x+z ≤ y+z 
                                        x ≥ y   =>   x+z ≥ y+z
inversione delle disuguaglianze :
                                        x < y   =>   -x > -y ;
                                        x ≤ y   =>   -x ≥ -y

Assioma di direzione e continuitą        (   R+ č "positivo" e  "continuo”    )
   oggetto :  1 ∈ S

8)  1 ∈ P   ( assioma dell’unitą )
9)  ( A<<B  e  A ∪ B = R )     =>    ∃ x ∈ R   ( x=max(A)  o  x=min(B)  )

Definizioni :

Induttivo(M)   :<=>    (  M ⊂ S   e   0∈M   e   (  ∀x∈M   x+1∈M   )   )
  N := ∪{ M : induttivo(M) }    ( intersezione di tutti i sottoinsiemi induttivi di S )
  N+  :=  N - {0} ;
  N*   :=  N+
  Z   :=  N ∪ ( -N+ ) ;
  Z* :=  Z - {0} ;
  Z+ :=  N+

Moltiplicazione con coefficiente intero:
  * :  Z × S → S   :
                                1*x:=x 
                                n*x := (n-1)*x + x
                                ab  :=  a*b 
                                abc := (a*b)*c  ,   abcd := ((a*b)*c)*d   ,    ecc.

Esempi di teoremi e ulteriori definizioni:

0*x=0 
∀ n∈Z    (-n)*x=-(n*x)=n*(-x) 
∀ a , b ∈ Z     a*b = b*a         ( * č commutativa in Z ) 
∀ a , b ∈ Z   ∀ x∈S     (ab)x= a(bx)        ( associativitą )
∀ a , b ∈ Z   ∀ x∈S     ( a + b ) x = a x + bx      ( distributivitą a destra )
∀ a ∈ Z   ∀ x , y ∈S    a ( x + y ) = a x + a y     ( distributivitą a sinistra )
∀ n∈N+     1/n := max( { x∈R : n x ≤ 1 } )    ( inverso di n )
    n x = 1    <=>   x = 1/n
 c := a/b    :<=>   b*c=a        ( definizione della divisione ) 
  Q  := {m/n : m∈Z, n∈N+}
  Q+ := {m/n : m∈ N+, n∈N+} 
  Q* := Q-{0}
∀n∈N+  ∀p∈R+        p/n    :=   max( { x∈R : n x ≤ p } ) 
     n x = p   <=>   x = p/n
∀n∈N+  ∀p∈R+     (-p)/n=-(p/n)
∀m∈Z   ∀n∈N+   ∀x∈R        (m/n)x  :=  m(x/n)
  ( moltiplicazione   Q × R → R )
estensione della moltiplicazione da   Q × R → R     a    R × R → R

Assiomi di estensione bidimensionale
oggetti : I+ ⊂ S   ,   i ∈ S 
modello empirico: ortonormalitą

10)  I+ č un verso continuo ( assiomi 5, 6, 7, 8 con I+ al posto di R+ )  ;   I := asse(I+)
11)  i ∈ I+  ( assioma 9,  con i e I+  al posto, rispettivamente, di 1 e R+ ) 
12)  R ∩ I = {0}  (assioma di bidimensionalitą)

Esempi di definizioni e teoremi:


Ni := {ni: n∈N}
N+i := {ni: n∈N+}
Zi := {ai: a∈Z}
Z*i := {ai: a∈Z*}
Qi := {m(i/n): m∈Z, n∈N+}
      …
Estensione della moltiplicazione da   Q × I → I     a    R × I → I .
∀x,y∈R :
                   Re(x+yi) := x 
                   Im(x+yi) := y
                   conj(x+yi) := x-yi     ;    notazione :     z    :=  conj(z)
                   ort(x+yi) := (-y+xi)  ;    notazione :     z _|_  :=  ort(z) 
    C := R+Ri := {x+yi : x∈R,y∈R} 
    Ri = I 
moltiplicazione in C :
∀a,b∈R  ∀z∈C            (a+bi)*z     :=   a z + b ort(z)  =  a z + b z_|_
           [  cambiamento di sistema di riferimento da   (1 , i)   a  (z , ort(z) )   ]
Roto-omotetia :     rotw : C → C  :   z → w z
      rotw   č detta   rotazione   se    rotw (conj(w))=1 ,   ossia se   w*conj(w) = 1 .
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