Densità, continuità, divisibilità |
Densità Ciò deriva dall’assioma: x ∈ R+ ⇒ ∃ x’∈ R+ x-x’∈ R+ . Infatti, preso x’ in modo che x’>0 e x’<y-x , si ha x<x+x’<y . Conseguenze : Teorema (di subdimezzabilità o subdivisibilità binaria) : dato x>0, esiste y>0 tale che 2y=y+y<x . dimostrazione:
preso z>0 tale che z<x (l’esistenza di un tale z è
postulata dall’assioma precedente), se anche 2z<x si prende y=z,
altrimenti si prende y<x-z (infatti da 2z ≥ x segue x-z ≤ z e quindi 2x-z ≤ x+z , quindi 2(x-z)=2x-2z ≤ x) Teorema (di subdivisibilità) : dato n numero naturale non nullo e dato x>0, esiste y>0 tale che ny < x . dimostrazione: si procede per induzione su n. Se n=1 l’asserto coincide con l’assioma di densità. Supposto che esista y>0 tale che ny<x , dalla subdimezzabilità segue l’esistenza di un y’>0 tale che 2y’<y , per cui si ha: (n+1)y’ ≤ 2ny’ < ny < x . |
Continuità Definizioni : 1)
dati A e B sottoinsiemi di R si dice che A precede B (scrivendo
A<<B) se A e B sono non vuoti e ogni elemento di A è minore di
ogni elemento di B. (In particolare ne segue che A e B sono disgiunti) 2) intervalli : [a,b] := {x : a ≤ x ≤ b} ,
]a,b] := {x : a < x ≤ b} ,
[a,b[ := {x : a ≤ x < b} ,
]a,b[ := {x : a < x < b} , semirette : [a , ∞ [ := {x : a ≤ x } , ]a , ∞ [ := {x : a < x } (illimitate superiormente) ; ]-∞ , a] := {x : x ≤ a } , ]-∞ , a[ := {x : x < a } (illimitate inferiormente) . 3)
un sottoinsieme A di R è detto “collocato inferiormente” se precede il
suo complementare; un sottoinsieme B di R è detto “collocato
superiormente” se il suo complementare lo precede. Assioma di continuità (di R) : Ogni sottoinsieme di R collocato inferiormente è una semiretta illimitata inferiormente Assioma di continuità (di R+) : Ogni sottoinsieme di R+=]0,∞[ collocato inferiormente è un intervallo del tipo ]0,a] oppure ]0,a[. L’elemento
a è detto “separatore” (o “elemento di separazione”) fra A e il suo
complementare. Esso è anche detto “estremo superiore” di A e “estremo
inferiore” del complementare di A; nel caso in cui esso appartiene ad A (ossia A=]-∞ , a] oppure ]0,a] ) è detto “massimo” di A, mentre nel caso esso non appartiene ad A (ossia A=]-∞ , a[ oppure ]0,a[ ) esso è detto “minimo” del complementare di A. |
Divisibilità : se n è un numero naturale non nullo, per ogni x>0 esiste un unico y>0 tale che ny = x. (Se
invece x<0, allora esiste un unico y<0 tale che n y = x ,
per provare la quale cosa si procede a dividere –x>0 e poi a
cambiare di segno il risultato della divisione). La dimostrazione (che nel caso n=1 è ovviamente inutile) si ottiene considerando i due insiemi seguenti : |