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logaritmo dell'unità

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• Come già sai, e puoi riverificare in figura spostando il punto a in verticale, tutte le funzioni esponenziali hanno grafico passante per il punto (0,1), in quanto, per ogni  a>0, si ha  exp_a(0)=a⁰=1.
  Di conseguenza, tutte le funzioni logaritmiche  log_a  ottenute al variare della base  a∈R⁺-{1}  (ossia nell'insieme dei numeri reali positivi privato dell'elemento 1), essendo inverse ognuna della corrispondente esponenziale exp_a, passano per il punto (1,0), simmetrico di (0,1) rispetto alla bisettrice y=x, e quindi si ha:  log_a(1)=0.
   

• Vediamo così che le funzioni logaritmiche costituiscono un fascio di curve passanti per il punto (1,0). Dato un punto d=(p,q) che sia nel semipiano destro (avente equazione x>0) e che non sia sulla retta verticale passante per (1,0) (che ha equazione x=1) e che non sia sull'asse delle ascisse, esiste una ed una sola funzione logaritmica passante per d. Prova, nella figura, a portare il punto d nella zona suddetta. Tale funzione logaritmica è quella in base  a=p^1/q; infatti, per tale scelta di  a, si ha  a^q=(p^1/q)^q=p  e quindi q=log_ap, cioè (p,q)∈log_a.
   

• La proprietà di far corrispondere all'ascissa  1  l'ordinata  0  può essere derivata direttamente dalla proprietà fondamentale dei logaritmi, che è quella di portare prodotti in somme. Infatti, se g è una funzione che gode della proprietà  g(x·x')=g(x)+g(x'), si deduce che in particolare  g(1·1)=g(1)+g(1), ossia   g(1)=g(1)+g(1), da cui  g(1)=g(1)-g(1)=0. Pertanto, la proprietà  è una proprietà strutturale, cioè derivante dalla struttura della funzione  g, che è il portare prodotti in somme. (Approfondimento)