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logaritmo di una potenza

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• Prendiamo ora in esame la proprietà del logaritmo di una potenza : log_a(b^c) = c·log_ab .  In parole: il logaritmo, in una data base, di una potenza coincide col prodotto dell'esponente di tale potenza per il logaritmo della base della stessa potenza. Quindi, ad esempio :  log_a(4^2/3) =  (2/3) · log_a4 .
   

• Ovviamente tale proprietà può essere scritta immaginando l'esponente come una variabile indipendente che varia sull'asse delle ascisse (logaritmo di esponenziale) :   log_ab^x = x·log_ab. La figura prende spunto da tale interpretazione e riconduce visivamente la questione alla proprietà dell'esponenziale di un prodotto.
   

• Quando  b=a   (porta col mouse  b  a coincidere con  a)   log_b=log_a  ed  exp_a  sono funzioni inverse e quindi la loro composizione è l'identità, ossia la funzione  x → x; quindi:   log_a a^x = x . Pertanto in questo particolare caso la proprietà si riduce ad asserire che il logaritmo in base  a   annulla l'effetto  dell'esponenziale in base  a (ossia che il logaritmo inverte l'esponenziale).
  In figura l'ascissa variabile  x  è l'ascissa del punto  d  (spostabile col mouse), la funzione in verde è  exp_b  e  m=b^x  è riportato dall'asse delle ordinate all'asse delle ascisse nel modo che ormai ti sarà divenuto familiare.
  Vediamo adesso cosa accade per un generico valore della base  b: indichiamo con  k  è quel numero tale che  a^k=b  (quindi  k=log_ab); si ha: m=b^x=(a^k)^x=a^kx  e   log_a b^x = log_a a^kx = k·x = x · log_ab.  Muovendo  d  si modificano nella figura, sull'asse delle ascisse,  x,  k·x   e   m.
  Nota come si può seguire sul grafico gli stessi passaggi appena scritti simbolicamente:  (x,b^x)∈exp_b,   (k·x,b^x)=(k·x,a^kx)∈exp_a,  e quindi   (a^kx,k·x)=(a^kx,x·log_ab)=(b^x,x·log_ab)∈log_a, il che esprime appunto l'uguaglianza   log_a(b^x)=x·log_ab. Vedi anche lo  schema riassuntivo.