mappa

<<

logaritmo di un quoziente

>>

• Qui ci occupiamo della cosiddetta proprietà del logaritmo del quoziente di due numeri dati: log_a(b/c)=log_ab - log_a c.  In parole: il logaritmo, in una data base, del quoziente  ( o rapporto ) di due numeri dati coincide con la differenza dei logaritmi di tali numeri. Quindi, ad esempio :  log_a(4/3) = log_a4 - log_a3.
   

• In figura puoi fissare la base (muovi a in orizzontale). Una volta fissata la base, e quindi la funzione logaritmica, si considera il rapporto (o quoziente; insomma, il risultato della divisione)  d=b/c   e  quindi  b  diventa multiplo di  c  tramite il coefficiente  d: in formula:  m=b=d·c (viene usata la lettera  "m"  per ricordare la parola "multiplo"). Puoi cambiare il rapporto  d  muovendo col mouse il punto  d  in orizzontale. La figura mostra che muovendo  x=c  si sposta anche  m=b=d·c, mantenendo però sempre lo stesso rapporto (ossia d) con c. In corrispondenza, sull'asse delle ordinate,  a  c  corrisponde  log_ac  e a  m  corrisponde  log_am  e la differenza (evidenziata con un segmento leggermente spostato a sinistra lungo l'asse delle ordinate)  log_am - log_ac  rimane sempre costante.  Siccome  m=d·c,  si ha   log_am=log_a(d·c)=log_ad +log_ac   e  quindi tale differenza vale   log_ad,   ossia: log_ad = log_am - log_ac , che significa  log_a(m/c)=log_am - log_ac, cioè  log_a(b/c)=log_ab - log_a c. Come puoi notare, in definitiva questa proprietà non è altro che quella del logaritmo del prodotto, presentata e interpretata in maniera diversa.
   

• Anche questa proprietà è di tipo strutturale: se una funzione  g  ha la proprietà di portare prodotti in somme, si ha:
    g(x)=g(x'·(x/x'))=g(x')+g(x/x') e quindi, : g(x/x')=g(x)-g(x').