mappa

<<

logaritmo di un prodotto

>>

• Come già sai, la funzione  exp_a  porta somme in prodotti, ossia:  exp_a(x+x')=exp_a(x)·exp_a(x').
  Nella figura di sopra vedi rappresentate le due funzioni  exp_a  e  log_a. Puoi modificare la base  a  spostandola lungo il semiasse positivo dell'asse delle ordinate.
   

• La figura mostra che  log_a(b·c)=log_ab + log_a c.  Puoi spostare  b  e  c  lungo il semiasse positivo dell'asse delle ascisse.
  Vediamo come funziona la costruzione. Partendo dall'ascissa  b, un segmento verde si muove in verticale per raggiungere il punto  (b,log_ab)∈log_a e da questo punto, proseguendo in orizzontale e seguendo sempre la traiettoria verde a segmenti coordinati (ossia verticali o orizzontali), si passa a (0,log_ab)  e successivamente a  (log_ab,0),  poi al punto  (log_ab,b)∈exp_a  e infine a (0,b), che, come è evidenziato sempre in verde, non è altro che  b  riportato sull'asse delle ordinate. Un percorso analogo, in colore viola, parte da  c  seguendo l'itinerario   (c,log_ac)∈log_a,   (0,log_ac),   (log_ac,0),   (log_ac,c)∈exp_a,   (0,c).
  Dal momento che  (log_ab,b)∈exp_a  e  (log_ac,c)∈exp_a  e che la funzione  exp_a  porta somme in prodotti, si ha che  (log_ab+log_ac,b·c)∈exp_a  e quindi  (b·c,log_ab+log_ac)∈log_a; quindi: log_a(b·c)=log_ab+log_ac. In figura l'ascissa  m  vale proprio b·c  e anche in corrispondenza a tale ascissa è data la traiettoria analoga alle due precedenti.
   

• Pertanto sussiste la proprietà fondamentale:   log_a(x·x') = log_a(x) + log_a(x')   ( ovviamente si deve avere: x>0 e x'>0 ). Ovvero: una funzione logaritmica porta prodotti in somme. Puoi trovare un'esposizione schematica alternativa (che però nella sostanza è le stessa di quella vista) della deduzione di questa proprietà nelle prime otto righe dello  schema riassuntivo delle proprietà del logaritmo. Nella stessa pagina è dato uno schema grafico delle due proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali e logaritmiche, dette proprietà di   m o r f i s m o .
   

• Un esempio interessante di applicazione di questa regola è il fatto che per calcolo del logaritmo dei numeri interi positivi basta conoscere  solo i logaritmi dei numeri primi: log_a6=log_a(2·3)=log_a2+log_a3,  log_a30=log_a(2·3·5)=log_a2+log_a3+log_a5, ecc...
  Bisogna stare attenti nell'applicare la proprietà esaminata in questa sezione: il prodotto  x·x'  è positivo anche quando x<0 e x'<0. In tal caso si ha:  log_a(x·x') = log_a((-x)·(-x')) = log_a(-x) + log_a(-x').