informatematica

epinoemi matematinformatici di Gaetano Speranza

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10/10/2005

Il numero di nepero e l'esponenziale naturale

Nella figura vedi in verde la retta passante per (0,1) di pendenza m

tale retta ha equazione y=m·x+1, ossia è l'insieme { (x,y) : y=m·x+1 }.

Muovendo in orizzontale c si sposta m sull'asse delle ascisse

e di conseguenza si modifica la pendenza della retta verde, che è appunto m.

Sulla retta verde varia un punto k, la cui ascissa è l'ascissa del punto d.

Muovendo in orizzontale d muovi anche k = ( d_x , m · d_x+ 1 ).

La curva in blu e l'esponenziale passante, oltre che per (0,1), per il punto k.

Avvicinando sempre di più d a 0, il punto k tende al punto (0,1)

e corrispondentemente la curva blu tende a una curva limite ben precisa.

Nota che quando d coincide esattamente con 0 tale curva scompare.

Infatti la curva blu è l'esponenziale di base (m · d_x+ 1)^1/dx

e quando d_x=0 tale numero non esiste (la base tende a 1 e l'esponente a ± ¥ )

però quando d_x "tende" a 0 la quantità (m·d_x+1)^1/dx "tende" a un numero

indichiamo tale numero, dipendente da m, con exp(m) e poniamo e=exp(1).

Il numero e è detto numero di Nepero ( o di Eulero ).

Nella figura porta d quasi sullo 0 in modo che il valore d_x sia quasi nullo

e vedrai visualizzato con i segmenti verticali rossi il valore di exp(m)

e quindi quando m=1 i segmenti verticali rossi misurano e (numero di Nepero).

Nella figura riporta (se lo avessi spostato) m al valore 1 (muovendo c)

nota il punto n = ( m , exp(m) ), che adesso che m=1 vale ( 1 , e )

poi digita il tasto "p" sulla tastiera per attivare il plottaggio

e quindi fai variare m su tutta la parte visibile dell'asse delle ascisse

vedrai che il punto n descrive una curva grigia e che tale curva è y=e^x

infatti quando m=1 la curva grigia coincide con l'esponenziale in base exp(m)

Pertanto concludiamo che al variare di m il punto n sta sulla curva y=e^x

il che vuol dire che ( m , exp(m) ) sta sulla curva y=e^x, ossia exp(m)=e^m.

Pertanto l'esponenziale avente "pendenza" m nel punto (0,1) è y=(e^m)^x=e^mx.

nota anche che il cambiamento di variabile x -> mx (che è uno stiramento lungo l'asse delle ascisse) porta sia l'esponenziale sia la sua retta tangente in analoghe curve sottoposte a stiramento orizzontale, fra cui sussiste ancora la relazione di tangenza