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Concetto di operazione su un insieme, intesa come processo che porta da uno o più input ad un output. Operazioni ad un input (operatori) e a due input (operazione in senso stretto) e diagrammi rappresentativi input-processo-output. Distinzione fra sintassi (gestione delle espressioni simboliche) e semantica (interpretazione – o significato – delle espressioni simboliche) di una teoria matematica. Prima formalizzazione della struttura matematica dello spazio tramite un insieme S dotato di un elemento 0 (origine o zero) e di una operazione (addizione) commutativa, associativa, con elemento neutro 0 e simmetrizzabile (nozione di “opposto”), interpretata graficamente tramite la “regola del parallelogramma”. Unicità dell’opposto e operatore “-“ di opposizione; definizione dell’operazione di sottrazione tramite la regola definitoria x-y := x+(-y), con diagramma di tale definizione. Interpretazione geometrica dell’opposizione (simmetria rispetto a 0) e della sottrazione (seconda diagonale del parallelogramma). Interpretazione degli elementi di S oltre che come punti anche come “vettori”. Concetto di funzione come trasformazione o passaggio da un dato a un risultato e interpretazione dell’addizione (con un addendo fissato) come traslazione. Aggiunta alla struttura (S, 0, +) di un sottoinsieme R⁺ (insieme dei numeri reali positivi) di S, interpretato graficamente come una semiretta. Simbolo di appartenenza e definizione della relazione di ordine “<” (“minore”) tramite la regola definitoria ( x := ( y-x Î R⁺) . Definizione della relazione di ordine “>” (“maggiore”), inversa della precedente. Simbolo di disgiunzione OR e introduzione delle altre due relazioni di ordine, “minore o uguale” e “maggiore o uguale”.

Simbolo di congiunzione AND e introduzione delle proprietà di base di R⁺ basate sulla relazione “minore”: chiusura rispetto all’operazione di addizione, densità, tricotomia, continuità (quest’ultima per cenni intuitivi). Semiretta dei numeri reali negativi. Simbolo di unione e definizione dell’asse reale R come unione delle semirette positiva e negativa con l’aggiunta di 0. Introduzione di un altro elemento privilegiato oltre allo zero: l’unità (1). Numeri naturali (N), interi relativi (Z). Multipli di un elemento di S, con coefficienti in N e più in generale in Z. Frazionabilità di 1, intesa come divisibilità di 1 per un qualunque numero naturale non nullo e simbolo di divisione “/”. Impossibilità della divisione 1/0. Definizione delle frazioni tramite la regola m/n := m(1/n). Insieme Q dei numeri razionali. Nozione di “inverso”, contrapposta a quella di “opposto”. Esistenza di altri numeri in R oltre agli elementi di Q (ossia di numeri non razionali, ovvero “irrazionali”). Moltiplicazione di un elemento qualunque (moltiplicando) di S con coefficiente (moltiplicatore) razionale, con interpretazione geometrica. Cenno alla generalizzazione del multiplo al caso di coefficiente reale qualunque. Genesi, basata su moltiplicazione e addizione (quest’ultima per traslare), dei concetti di segmento (moltiplicatore compreso fra 0 e 1), semiretta (moltiplicatore positivo o non negativo), retta (moltiplicatore arbitrario). Formula a + (b-a) t come generatrice di tali figure al variare del parametro t. Combinazioni lineari di due elementi di S. Aggiunta di un terzo elemento privilegiato in S, l’unità immaginaria i. Interpretazione grafica “ortonormale” (ossia ortogonale e monometrica) e “antioraria” della terna (0, 1, i). L’insieme dei numeri complessi C, generato dalle combinazioni lineari di 1 (unità reale) e i (unità immaginaria). Simmetria rispetto all’asse reale e numeri complessi coniugati. Opposizione e simmetria centrale (rispetto all’origine). Simmetria rispetto all’asse immaginario. Parte reale e operatore Re( ) ; coefficiente della parte immaginaria e operatore Im( ) . Scambio di Re(z) con Im(z) e simmetria rispetto alla bisettrice di 1° e 3° quadrante. Ortogonali antiorario e orario di un numero complesso. Uso privilegiato dell’operatore ort( ) che fornisce l’ortogonale antiorario. Moltiplicazione di due numeri complessi basata sul cambiamento di riferimento da (0,1,i) a (0,z,ort(z)), dove z è il moltiplicando. Espressione algebrica della moltiplicazione e relazione fondamentale frale due unità: i² = -1. Interpretazione della moltiplicazione (con moltiplicando fisso z, ossia “moltiplicazione per z”) come rotodilatazione che trasforma 1 in z. Condizione affinché una rotodilatazione per z sia una rotazione: il coniugato di z viene trasformato in 1 dalla moltiplicazione per z ; numeri complessi unitari (lunghi come l’unità). Modulo di un numero complesso e sua relazione pitagorica con le componenti del numero stesso. Esempi di uso delle operazioni di addizione e moltiplicazione in C (e del modulo) per la grafica computerizzata.

  

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Recupero programma di quarto livello

Richiamo del concetto di funzione: variabile indipendente, processo (la funzione stessa) e variabile dipendente. Funzioni date con un’equazione del tipo y=f(x), soddisfatta da tutte e sole le coppie (x,y) che la funzione associa tramite la formula data. Funzioni definite su tutto l’insieme dei numeri reali o su un suo intervallo. Funzioni lineari: richiamo intuitivo in base alla formula y = ax + b, con significato dei parametri a e b. Concetto di incremento di una funzione nel passaggio da un valore iniziale del suo argomento ad un valore incrementato. Rappresentazione cartesiana dell’incremento come lunghezza del cateto verticale del triangolo rettangolo con un vertice nel punto del grafico di ascissa iniziale x e l’ipotenusa secante il grafico della funzione nel predetto punto e in quello di ascissa incrementata. Uso della variabile incrementale, ad esempio di Dx come variabile incrementale associata alla variabile indipendente x. Estensione dell’operatore D alle espressioni funzionali f(x) e quindi alle variabili dipendenti. Variazione (o crescita) assoluta di una funzione in un intervallo e velocità media di crescita (ossia crescita relativa rapportata alla variazione della variabile indipendente); rapporto incrementale e suo possibile assestamento intorno a un valore limite quando l’incremento della variabile indipendente tende a zero (velocità istantanea di crescita della funzione in corrispondenza all’ascissa data, ovvero derivata della funzione in corrispondenza di tale ascissa). Interpretazione geometrica del rapporto incrementale come pendenza dell’ipotenusa del triangolo rettangolo associato alla funzione nel punto dato e per l’incremento dato. Interpretazione del limite che fornisce la derivata (se esiste) come pendenza della retta tangente al grafico, sussistente come retta anche quando l’ipotenusa che la definisce scompare. Funzioni lineari ottenute in base alla proprietà di associare incrementi uguali delle ordinate ad incrementi uguali delle ascisse. Deduzione della formula già nota per le funzioni di primo grado nella forma f(x)=ax+b con a=f(1)-f(0) e b=f(0) (facendo uso del metodo di progressione aritmetica).

Concetto di rapporto (o “inceremento per rapporto”) di una funzione : f(x+Dx) / f(x) . Funzioni che associano a incrementi uguali delle ascisse rapporti uguali delle ordinate. L’esempio delle lunghezze di corde producenti note musicali. Enucleazione delle somiglianze formali con il caso delle funzioni lineari, sostituendo però alla differenza dei valori il rapporto degli stessi. Deduzione, col metodo di progressione geometrica, della formula f(x) = (a^x)b, simile nella struttura ad ax+b ma con un grado di astrazione operazionale in più (l’addizione diventa moltiplicazione e la moltiplicazione diventa elevamento a potenza). Definizione di potenza ad esponente frazionario (positivo o negativo) proprio per realizzare la validità della precedente formula per ogni ascissa razionale x. Proprietà delle funzioni esponenziali y=a^x (somma e differenza degli argomenti e potenza di potenza). Introduzione della funzione esponenziale naturale partendo dal modello di capitalizzazione composta su periodi di uguale lunghezza p e facendo poi tendere tale lunghezza a zero per avere una capitalizzazione continua (ovvero “istante per istante”). Numero di Nepero come limite della successione (1+1/n)ⁿ e come base della funzione esponenziale naturale introdotta.

Simmetrie rispetto agli assi coordinati e relazione grafica fra le funzioni f(x) , f(-x) , -f(x) e –f(-x). Scambio delle coordinate x e y nella formula y=f(x) e grafici simmetrici rispetto alla bisettrice principale (del primo e terzo quadrante: y=x ). Introduzione algebrica e geometrica (con la predetta simmetria di inversione) delle funzioni logaritmiche a partire dalle funzioni esponenziali. Concetto di base di una funzione logaritmica e valori accettabili per tale base, oltre che confronto fra i casi in cui essa è maggiore di 1 con quelli in cui essa è inferiore ad 1. Valori accettabili per la x nell’espressione log_a x . Proprietà di base dei logaritmi: logaritmo di prodotto e quoziente, logaritmo di una potenza, espressione di una logaritmo tramite logaritmi in un’altra base data. Velocità di crescita istantanea (derivata) della funzione logaritmica in base a e relazione di reciprocità (motivata geometricamente) con la corrispondente velocità istantanea della funzione esponenziale associata.