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In figura è visualizzato come prima un punto
(0,a), denominato semplicemente
a, e questa volta anche un punto
(0,b), denominato semplicemente
b (puoi modificare i valori dei numeri
a e b
direttamente muovendo i punti a e
b col mouse). Questa volta k è il punto (1,b·a);
clicca sulla figura e poi premi più volte (ad esempio tre volte) la barra
spaziatrice:
il punto n, partendo dalla posizione
iniziale di ascissa zero, cresce prendendo ascisse
1, 2, 3,... e il punto h parte dalla
posizione (0,b) e si muove a
scatti passando prima a coincidere con k
e poi assumendo altre posizioni, corrispondenti alle ascisse 2, 3,
... e che ci
proponiamo di capire come vengono assunte.
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Puoi azzerare tutto col tasto c (dalla tastiera)
e ripetere la pressione della barra spaziatrice; inoltre, portando il
punto c della figura più in basso o più in
alto puoi evidenziare altre 8 modalità di rappresentazione (se
c si distanzia dall'asse delle ascisse di una
unità i punti vengono collegati, se di due unità vengono visualizzate solo
le ordinate, se di tre unità vengono combinate le due precedenti
visualizzazioni, se di quattro o più unità vengono visualizzate le
ordinate e i gradini effettuati nel passaggio da un punto al successivo;
secondo che c sta al di sotto o
al di sopra dell'asse delle ascisse, si visualizza o meno una curva, che
alla fine del percorso saprai interpretare). Ti conviene lasciare ora
c in una posizione che permetta la
visualizzazione della storia del punto h)
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Indichiamo con sn
l'ordinata di h
corrispondente all'ascissa n del
generico punto ottenuto con la barra spaziatrice:
il punto h assume le posizioni:
h0=(0,b) ,
h1=(1,b·a)=k ,
h2=(2,b·a·a)=(2,b·a2), e in generale hn=(n,sn)=(n,b·an);
quindi la successione s ha
i termini che partono da b e ogni
termine è ottenuto dal precedente moltiplicandolo
per a.
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Mentre una progressione aritmetica di
termine iniziale b
aggiunge a
ad ogni termine per passare al successivo,
qui abbiamo una progressione geometrica
di termine iniziale b , che
moltiplica per a
ogni termine per passare al successivo.
In formule: s0=b ( condizione
iniziale ) e, per ogni numero naturale
n, si ha sn+1=sn·b ( condizione ricorsiva );
e quindi: sn=b·an
(anche per n=0),
ovvero s={b·an}n∈N.
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