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prodotto di esponenziali

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• Prendiamo qui in esame la proprietà seguente:   a^x·b^x = (a·b)^x : 
  il prodotto di due funzioni esponenziali (in base diverse) è anch'esso una funzione esponenziale, avente per base il prodotto delle basi delle funzioni fattori del prodotto.
   

• In figura abbiamo le funzioni  exp_a ,   exp_b   ed  exp_ab; l'ascissa variabile  x  è l'ascissa del punto  d  (spostabile col mouse); k  è quel numero tale che  a^k=b; sull'asse delle ascisse compaiono  k, x, kx  e  x+kx;  m   è il punto   (x,a^x+kx)=(x,a^xb^x) , che coincide con  (1,a·b)  se  x=1 ; siccome: 
                    a^x·b^x=a^x·a^kx=a^x+kx=a^(1+k)x=(a^1+k)^x=(a·a^k)^x=(a·b)^x,
  si ha che  m  varia sulla curva esponenziale  exp_ab.
  L'uguaglianza  a^x·b^x=(a·b)^x  esprime il fatto che   exp_a(x) · exp_b(x) =  exp_ab(x), il che, valendo per ogni x reale, si scrive brevemente:  exp_a · exp_b =  exp_ab.
   

• Un'altra maniera, elegante, di mostrare la proprietà di cui ci stiamo occupando, sfrutta la solita proprietà di unicità dell'esponenziale. Basta provare che la funzione   F : x → a^x·b^x   porta somme in prodotti  e che  F(1)=a·b. E ciò è pressoché immediato.