-
In figura è visualizzato come prima un punto
(0,a), denominato semplicemente
a, (che come sai e spostabile col mouse). Questa volta k è il punto (1,a);
clicca sulla figura e poi premi più volte (ad esempio tre volte) la barra
spaziatrice:
l'ascissa di h, partendo dal valore
iniziale nullo, decresce prendendo ascisse
-1, -2, -3,... e il punto h parte dalla
posizione (0,0) e si muove a
scatti passando prima a coincidere con -k
e poi assumendo altre posizioni che hanno ascisse -2, -3,... e che ci
proponiamo di capire come vengono assunte.
-
Puoi azzerare tutto col tasto c (dalla tastiera)
e ripetere la pressione della barra spaziatrice; inoltre, portando il
punto c della figura più in basso o più in
alto puoi evidenziare altre 8 modalità di rappresentazione (se
c si distanzia dall'asse delle ascisse di una
unità i punti vengono collegati, se di due unità vengono visualizzate solo
le ordinate, se di tre unità vengono combinate le due precedenti
visualizzazioni, se di quattro o più unità vengono visualizzate le
ordinate e i gradini effettuati nel passaggio da un punto al successivo;
secondo che c sta al di sotto o al di sopra
dell'asse delle ascisse, si visualizza o meno la retta congiungente
l'origine con k). Ti conviene lasciare ora
c in una posizione che permetta la
visualizzazione della storia del punto h)
-
Indichiamo con n
l'ascissa di h e con
f(n) la sua ordinata; partendo dalla
posizione iniziale, e poi in corrispondenza della pressione sulla barra spaziatrice,
il punto h assume le posizioni:
h0=(0,0) ,
h1=(-1,-a)=k ,
h2=(-2,-a-a)=(-2,-2a), ... (in generale hm=(-m,f(-m))=(-m,-m·a));
quindi si ottiene la funzione {f(n)}n∈Z
, ossia la successione {f(-n)}n∈N che ha
i termini che partono da 0 e in
cui ogni
termine è ottenuto dal precedente
sottraendogli il numero a.
Ciò concorda con la legge, già vista:
f(n+1)=f(n)+a, che ovviamente si può scrivere anche nella forma
f(n)=f(n+1)-a. Quel che adesso accade è che
stiamo applicando questa legge con valori interi non
positivi di n, mentre precedentemente
la avevamo usata con valori naturali, ossia interi non negativi.
Il punto
di raccordo fra le due successioni {f(-n)}n∈N
e {f(n)}n∈N
è quello corrispondente all'ascissa (indice) 0, in cui la f ha valore
nullo.
-
Abbiamo in tal modo
estrapolato (estrapolazione significa: definizione
di una funzione prima o dopo - nel nostro caso prima - della zona
in cui essa è nota) la funzione f : n
→ n·a
, passando da valori naturali di n
a valori interi negativi, basandoci sulla legge
f(n)=f(n+1)-a, ossia sulla stessa legge che,
per valori di n naturali, aveva portato alla
definizione di f partendo dalla sola ipotesi
f(0)=0.
La funzione così costruita con dominio
Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} è detta
successione lineare bilatera (in generale è detta
successione bilatera ogni
funzione definita su Z). Deduzione formale delle proprietà.
|