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le otto isometrie coordinate

  • componendo coniugazione e inversione delle coordinate (che sono le due simmetrie di base), abbiamo visto come, in maniera piuttosto articolata, si perviene all'opposizione.
    Se componiamo invece in modo semplice, a due a due, l'opposizione, conj e inv otteniamo i seguenti operatori (tutti lineari, in quanto conj e inv lo sono):
  • l' identitÓ:   id: zz
  • la coniugazione opposta:   - conj : x+yi-x+yi
  • la ortonormalitÓ antioraria:   ort : x+yi-y+xi
  • la ortonormalitÓ oraria:   - ort : x+yiy-xi
  • la inversione opposta:   - inv : x+yi-y-xi
     
  • mettendo insieme queste 5 trasformazioni con le tre di partenza otteniamo 8 isometrie (trasformazioni che non modificano la forma e le dimensioni delle figure), che possono essere  suddivise  in:
  • 4 simmetrie assiali:   conj, -conj, inv, -inv
  • 4 rotazioni:   id, ort, -id (l'opposizione), -ort
  • possiamo esprimere tutte le 8 isometrie coordinate tramite una simmetria assiale (conj) e una delle due ortonormalitÓ, ad esempio l'antioraria ort. Pertanto la simmetria assiale conj e la rotazione ort costituiscono due isometrie di base.
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