Approfondimento: proprietà delle relazioni di ordine in R

le quattro relazioni di ordine in R ( <, ≤, >, ≥ ) godono delle seguenti imporanti proprietà:

• sono tutte e quattro transitive (per via dell'assioma di chiusura additiva)
  • una relazione   ρ   è detta  transitiva  se da   x ρ x'   e   x' ρ x'' segue   x ρ x''
  • ad esempio: se x<x' e x'<x'' allora x<x''
  • infatti le ipotesi significano che x'-x e x''-x' sono positivi, quindi è positivo x''-x=(x''-x')+(x'-x)
• le relazioni di ordine largo (ossia ≤ e ≥) sono riflessive in R
  • una relazione   ρ   è detta  riflessiva  in un insieme A  se per ogni x in A si ha   x ρ x
  • ad esempio: x≤x (infatti x=x e la relazione ≤ include l'uguaglianza)
• le relazioni di ordine stretto (ossia < e >) sono antiriflessive
  • una relazione   ρ   è detta  antiriflessiva  se non si ha mai   x ρ x
  • ad esempio, è falso che x<x, in quanto ciò significherebbe che 0=x-x appartiene a R⁺, contravvenendo all'assioma dello zero
• le relazioni di ordine stretto (ossia < e >) sono antisimmetriche in senso stretto
  • una relazione   ρ   è detta  antisimmetrica in senso stretto  se non è mai possibile avere contemporaneamente:   x ρ y   e   y ρ x  
  • ad esempio: se accadesse che x<y e y<x, si avrebbe che entrambi y-x e x-y sarebbero positivi, quindi sarebbe positiva la loro somma, che è 0
• le relazioni di ordine largo (ossia ≤ e ≥) sono antisimmetriche in senso largo
  • una relazione   ρ   è detta  antisimmetrica in senso largo  se da   x ρ y   e   y ρ x   segue che   x = y
  • ad esempio: se accade che x≤y e y≤x, non potendo aversi contemporaneamente x<y e y<x non resta che l'unica possibilità x=y
• proprietà di monotonicità additiva: tutte e quattro le relazioni di ordine sono compatibili con l'addizione
  • una relazione   ρ   è detta  compatibile con l'addizione  se, fissato un addendo y, da   x ρ x'   segue che   (x+y) ρ (x'+y)
  • ad esempio: se x<x', ossia x'-x è positivo, allora anche (x'+y)-(x+y)=x'-x è ovviamente positivo
• proprietà di monotonicità per multipli a coefficienti naturali non nulli: tutte e quattro le relazioni di ordine sono compatibili con l'operatore di multiplo a coefficiente naturale non nullo
  • una relazione   ρ   è detta  compatibile con l'operatore di multiplo a coefficiente naturale non nullo  se, fissato un numero naturale non nullo n, da   x ρ x'   segue che   (nx) ρ (nx')
  • ad esempio: se x < x', allora 2x = x+x < x+x' < x'+x' = 2x', quindi: 3x = 2x+x < 2x+x' < 2x'+x' = 3x', e così via per tutti gli altri n successivi (per n=1 la cosa è banale).