Approfondimento: definizioni basate su R⁺ e sull'addizione

l'insieme dei numeri positivi e l'addizione permettono di definire i concetti di intervallo limitato e illimitato, che corrispondono, sull'asse reale, a quelli di segmento e di semiretta nel piano o nello spazio e che forniscono una maniera alternativa di introdurre le quattro relazioni di ordine in R:

• iniziamo col denotare l'insieme R⁺ in modo alternativo: ] 0 , ∞ [
  (intervallo illimitato destro, aperto a sinistra in 0)
  • l'esclusione di 0 è indicata dal fatto che la parentesi quadra guarda verso l'esterno
• chiudiamo il suddetto intervallo aggiungendo lo zero: [ 0 , ∞ [ := {0} ∪ ] 0 , ∞ [
  (intervallo illimitato destro, chiuso a sinistra in 0)
  • l'inclusione di 0 è indicata dal fatto che la parentesi quadra guarda verso l'interno
• preso x in R, trasliamo i precedenti intervalli illimitati a destra:
  ] x , ∞ [ := x + ] 0 , ∞ [ = T_x(R⁺)   e   [ x , ∞ [ := x + [ 0 , ∞ [
  • tali intervalli illimitati sono costituiti rispettivamente dai numeri > o ≥ di x
• definiamo per complementazione a R gli intervalli illimitati a sinistra:
  ] -∞ , x [ := R - [ x , ∞ [   e   ] -∞ , x ] := R - ] x , ∞ [
  • tali intervalli illimitati sono costituiti rispettivamente dai numeri < o ≤ di x
• definiamo mediante intersezione gli intervalli limitati:
  [x,y] := ]-∞,y] ∩ [x,∞[     ;     ]x,y] := ]-∞,y] ∩ ]x,∞[   ;
  [x,y[ := ]-∞,y[ ∩ [x,∞[     ;     ]x,y[ := ]-∞,y[ ∩ ]x,∞[
  • tali intervalli limitati sono costituiti dai numeri compresi fra x e y con le varie relazioni <, ≤, >, ≥ a seconda dell'inclusione o dell'esclusione degli estremi x e y.