Approfondimento: invertibilità della moltiplicazione in R⁺ e in R^-

Teorema di invertibilità della moltiplicazione: per ogni x numero reale positivo esiste un numero reale positivo, indicato con 1/x, tale che x(1/x) = 1. Analogamente per i numeri reali negativi.
Un cenno ai passi dimostrativi:

• se x = m/n, con m e n naturali positivi, si pone 1/x := n/m e si ha: x(1/x) = (m/n)(n/m) = (mn)/(nm) = 1
• se x è reale positivo si segue un processo di approssimazione analogo a quello seguito per la prova della commutatività e si perviene alla prima parte del teorema, limitatamente all'esistenza di un inverso in R⁺
• se x è reale negativo, allora -x è positivo e si considera come inverso di x l'opposto dell'inverso di -x
• adesso si prova l'unicità dell'inverso di un numero reale non nullo: se vi fossero due numeri x' e x'' tali che xx'=1 e che xx''=1, si avrebbe x'=x'·1=x'(xx'')=(x'x)x''=(xx')x''=1·x''=x''