Approfondimento: la divisibilità di un numero reale in un un dato numero di parti uguali

Dagli assiomi di densità e completezza segue la divisibilità di un qualunque numero reale in n parti uguali. Riportiamo la (non semplice) serie dei passi dimostrativi, in quanto è difficile trovare sui testi la trattazione di questa questione:

• subdimezzabilità (o subdivisibilità binaria): dato x>0, esiste y>0 tale che 2y=y+y<x
  • dimostrazione: preso x'>0 tale che x'<x (l’esistenza di un tale x' è postulata dall’assioma di densità), se anche 2x'<x si prende y=x', altrimenti si prende y<x-x' (infatti da 2x' ≥ x segue x-x' ≤ x' e quindi 2x-x' ≤ x+x' , quindi 2y < 2(x-x')=2x-2x' ≤ x)
• subdivisibilità: dato n numero naturale non nullo e dato x>0, esiste y>0 tale che ny<x
  • dimostrazione: si procede per induzione su n. Se n=1 l’asserto coincide con l’assioma di densità. Supposto che esista y>0 tale che ny<x , dalla subdimezzabilità segue l’esistenza di un y’>0 tale che 2y’<y , per cui si ha (n+1)y’ ≤ 2ny’ < ny < x
• divisibilità dei positivi : se n è un numero naturale non nullo, per ogni x>0 esiste un unico y>0 tale che ny=x
  • la dimostrazione (che nel caso n=1 è ovviamente inutile) si ottiene considerando i due insiemi seguenti : A := {z : nz ≤ x } e B :={z : nz > x}, che risultano essere complementari e il primo precedente il secondo; si prende y compreso fra A e B (ciò è consentito dall'assioma di completezza). Tale y non può verificare né la condizione ny>x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che np < ny-x , si avrebbe n(y-p)=ny-np>ny-ny+x=x e quindi y-p minore di y ma in B, invece che in A) né la condizione ny<x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che np < x-ny , si avrebbe n(y+p)=ny+np<ny+x-ny=x e quindi y+p maggiore di y ma in A, invece che in B) e pertanto deve risultare ny=x
  • l'unicità segue dal fatto che un altro eventuale y' con le stesse proprietà di y sarebbe tale che ny'=x e contemporaneamente ny'≠ny=x
• divisibilità dei negativi : se n è un numero naturale non nullo, per ogni x<0 esiste un unico y<0 tale che ny=x
  • si procede a dividere –x>0 e poi a cambiare di segno il risultato della divisione
• se x=0, l'unico y reale tale che ny=0 è y=0
  • ciò è immediato, in quanto ny=n0=0 e, per l'unicità, ragionando come nella prova dell'unicità della divisione di un numero positivo.