Approfondimento: commutatività del prodotto di numeri reali: x·y = y·x

la commutatività del prodotto di numeri reali può essere dimostrata usando le proprietà di ordinamento di R, riconducendola alla commutatività del prodotto mn quando m ed n sono numeri naturali; diamo qui di seguito un cenno al procedimento che si segue:

• il prodotto di numeri naturali non nulli è commutativo; ciò deriva dall'associatività dell'addizione
  • ad esempio: 3·2 = 2+2+2 = (1+1)+(1+1)+(1+1) = (1+1+1)+(1+1+1) = 3+3 = 2·3
• se uno dei due numeri è nullo, continua a valere la commutatività
  • in quanto 0·a = a·0 = 0
• dal fatto che (-a)b = a·(-b) = -ab segue la commutatività del prodotto di numeri interi relativi:
  • ad esempio (-3)·2 = - 3·2 = - 2·3 = 2·(-3)
• il prodotto di frazioni (dette anche numeri razionali) è commutativo
  • inizialmente si prova che: (x/m)/n = x/(m·n), con x reale e m ed n naturali non nulli
  • dalla proprietà: (m/n)·x = m·(x/n), applicata con x=m'/n', segue:
    (m/n)·(m'/n') = m·((m'/n')/n) = m·(m'/(n·n'))
  • dalla proprietà: m·(x/n) = (m·x)/n, applicata con x=m' e con n·n' al posto di n, segue:
    m·(m'/(n·n'))=(m·m')/(n·n')
  • pertanto di conclude che: (m/n)·(m'/n') = (m·m')/(n·n') e di conseguenza che la moltiplicazione di frazioni è commutativa. L'insieme delle frazioni (numeri razionali) viene indicato con Q.
• il prodotto di numeri reali, approssimabile quanto si vuole dal prodotto di frazioni, è commutativo
  • se x e x' sono numeri reali positivi, si "schiacciano" fra le coppie di insiemi (A,B) e (A',B') definite da A := {r∈Q : r≤x}, B := {r∈Q : r>x}, A' := {r∈Q : r≤x'}, B' := {r∈Q : r>x'}, in modo che i prodotti x·x' e x'·x vengano entrambi (per la commutatività della moltiplicazione in Q, schiacciati fra A·B :={r·s : r∈A, s∈B} e A'·B' :={r·s : r∈A', s∈B'}; quindi segue che x·x' e x'·x sono lo stesso numero reale.
  • se x e x' sono numeri reali in generale, l'uguaglianza di x·x' e x'·x segue da cambiamenti di segno o considerazioni su 0.